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已知a，b∈R+，函數f(x)=
ax+1+bx+1
ax+bx
(x∈R)．
（1）判斷函數f（x）的單調性，并證明你的結論；
（2）比較
a2+b2
a+b
與
ab
的大小．
分析：（1）利用函數單調性的定義證明．（2）通過作差法判斷大小．
解答：解：（1）函數f(x)=
ax+1+bx+1
ax+bx
(x∈R)遞增函數，證明如下：
設x＜y，則x-y＜0，f(x)-f(y)=
(a-b)(ax-y-bx-y)ayby
(ax+bx)(ay+by)
，
①當a=b時，f（x）為常數函數，此時不單調．
②若a＞b，則a-b＞0，ax-y＜bx-y，ax-y-bx-y＜0，所以f（x）＜f（y），
此時函數f(x)=
ax+1+bx+1
ax+bx
(x∈R)遞增函數．
③當a＜b，則a-b＜0，ax-y＞bx-y，ax-y-bx-y＞0，所以f（x）＜f（y），
此時函數f(x)=
ax+1+bx+1
ax+bx
(x∈R)遞增函數．
（2）
a2+b2
a+b
-
ab
=
a2+b2-a
ab
-b
ab
a+b
=
a2+b2-a
3
2
b
1
2
-a
1
2
b
3
2
a+b
=
(a
3
2
-b
3
2
)(a
1
2
-b
1
2
)
a+b
，
因為冪函數x
3
2
，x
1
2
在（0，+∞）上單調遞增，具有相同的單調性．
所以當a=b時，
a2+b2
a+b
=
ab
．
當a≠b時，
a2+b2
a+b
＞
ab
．
點評：本題的考點是利用作差法比較兩個數的大小以及利用單調性的定義去判斷函數的單調性，作差法是比較大小中最常用的一種方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知a、b∈R，向量
e1
=（x，1），
e2
=（-1，b-x），函數f（x）=a-
1
e1
e2
是偶函數．
（1）求b的值；
（2）若在函數定義域內總存在區間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的奇函數f（x）．當x＜0時，f（x）=x2+2x．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）問：是否存在實數a，b（a≠b），使f（x）在x∈[a，b]時，函數值的集合為[
1
b
，
1
a
]？若存在，求出a，b；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：2011年河北省高二下學期3月月考數學卷 題型：解答題

已知函f(x)=ax3+x2+bx(其中常數a，b∈R)，g（x）=f(x)+ f′\(x)是奇函數。

（1）求f(x)的表達式；

（2）試論g(x)的單調性，并求g(x)在區間[1,2]上的最大值與最小值。

 

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知a、b∈R，向量數學公式=（x，1），數學公式=（-1，b-x），函數f（x）=a-數學公式是偶函數．
（1）求b的值；
（2）若在函數定義域內總存在區間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2011年上海市黃浦區高考數學一模試卷（文理合卷）（解析版） 題型：解答題

已知a、b∈R，向量=（x，1），=（-1，b-x），函數f（x）=a-是偶函數．
（1）求b的值；
（2）若在函數定義域內總存在區間[m，n]（m＜n），使得y=f（x）在區間[m，n]上的函數值組成的集合也是[m，n]，求實數a的取值范圍．

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