Question

已知函數(shù)， 
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實數(shù)的最小值；
（3）若，使成立，求實數(shù)取值范圍.

Answer 1

（1）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，遞增區(qū)間是。
（2）的最小值為。
（3）。

試題分析：函數(shù)的定義域為，且   2分
（1）函數(shù)
當(dāng)且時， ；當(dāng)時，
所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，，遞增區(qū)間是  .5分
（2）因為在上為減函數(shù)，故在上恒成立
所以當(dāng)時，
又
故當(dāng)，即時，
所以于是，故的最小值為             .8分
（3）命題“若，使成立”等價于
“當(dāng)時，有”
由（2），當(dāng)時，，所以
問題等價于： “當(dāng)時，有”            9分
（i）當(dāng)時，由（2）在上為減函數(shù)
則，故
（ii）當(dāng)時，由于在上為增函數(shù)
故的值域為，即
由的單調(diào)性值域知
唯一，使，且滿足：
當(dāng)時，，為減函數(shù)；當(dāng)時，，為增函數(shù)；所以， 
所以，，與矛盾，不合題意
綜上，                                            12分
點評：難題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的基本問題，主要依據(jù)“在給定區(qū)間，導(dǎo)函數(shù)值非負(fù)，函數(shù)為增函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)值非正，函數(shù)為減函數(shù)”。確定函數(shù)的極值，遵循“求導(dǎo)數(shù)，求駐點，研究單調(diào)性，求極值”。不等式恒成立問題，往往通過構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的最值，使問題得到解決。本題的難點在于利用轉(zhuǎn)化思想的靈活應(yīng)用。