Question

（1）已知a＞b＞1，log_ab+log_ba=

10

3

，求log_ab-log_ba的值．
（2）已知函數y=ax²-3x+3，當x∈[1，3]時有最小值8，求a的值．

Answer 1

分析：（1）由對數的運算性質log_ab•log_ba=1及a＞b＞1，不難求出log_ab及log_ba的值，代入即可求出log_ab-log_ba的值．
（2）求二次函數在定區間上的最值，關鍵是要分析定區間也函數對稱軸的關系，并結合函數的單調性進行分類討論．

解答：解：（1）∵log_ab•log_ba=1
∴log_ab=

1

logba

又∵a＞b＞1，
∴log_ba＞1
由log_ab+log_ba=

10

3

得log_ba+

1

logba

=

10

3

解得：log_ba=3
∴log_ab=

1

logba

=

1

3

∴log_ab-log_ba=-

8

3

（2）若a=0，則y=-3x+3，在函數在區間[1，3]的最小值為-6，不符合條件．
若a＜0，則函數y=ax²-3x+3圖象的開口方向朝下，且對稱軸x=

3

2a

＜0，
此時函數y=ax²-3x+3在區間[1，3]的最大值小于3，故其最小值不可能是8，不符合條件
若a＞0，則函數y=ax²-3x+3圖象的開口方向朝上，且對稱軸x=

3

2a

＞0，
當

3

2a

≥3，即0＜a≤

1

2

時，y的最小值在x=3處取到，最小值為9a-6，令9a-6=8，得a=

14

9

，不符合條件
當1＜

3

2a

＜3，即

1

2

＜a＜

3

2

時，y的最小值在為3-

9

4a

＜8，不符合條件
當

3

2a

≤1，即a≥

3

2

時，y的最小值在x=1處取到，其值為a，令a=8解得a=8
綜上知，當x∈[1，3]時有最小值8時，a的值為8

點評：二次函數y=ax²+bx+c，在定區間[m，n]上，[1]當m≥-

b

2a

時，對稱軸在區間左側，f （x）在[m，n]上遞增，則f （x）的最大值為f （n），最小值為f （m）；[2]當n≤-

b

2a

時，對稱軸在區間右側，f （x） 在[m，n]上遞減，，則f （x）的最大值為f （m），最小值為f（n）；[3]當-

b

2a

∈（m，n）時，則f（x）的最小值為f （-

b

2a

）；在[m，-

b

2a

]上函數f （x）遞減，則f （x）的最大值為f （m），在[-

b

2a

，n]上函數f （x）遞增，則f （x）的最大值為f （n），比較f （m）與f （n）的大小即得．