Question

如圖，已知橢圓： 的離心率為 ，點 為其下焦點，點為坐標原點，過 的直線 ：（其中）與橢圓 相交于兩點，且滿足：.

（1）試用  表示 ；
（2）求  的最大值；
（3）若 ，求  的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）離心率的最大值為；（3）的取值范圍是.

解析試題分析：（1）設，聯立橢圓與直線的方程，消去得到，應用二次方程根與系數的關系得到，，然后計算得，將其代入化簡即可得到；（2）利用（1）中得到的，即（注意），結合，化簡求解即可得出的最大值；（3）利用與先求出的取值范圍，最后根據（1）中，求出的取值范圍即可.
試題解析：（1）聯立方程消去，化簡得    1分
設，則有，           3分

∵
∴  5分
∴即                   6分
（2）由（1）知∴，∴        8分
∴   ∴離心率的最大值為                  10分
(3)∵ ∴        ∴          12分
解得  ∴即
∴的取值范圍是                  14分.
考點：1.橢圓的標準方程及其性質；2.二次方程根與系數的關系.