Question

已知橢圓的內接三角形有一個頂點在短軸的頂點處，其重心是橢圓的一個焦點，求該橢圓離心率e的取值范圍（　　）

A．(0， 2 3 3 )

B．(0， 3 3 )

C．( 2 3 3 ，1)

D．( 3 3 ，1)

Answer 1

不防設橢圓方程：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
再不妨設：B（0，b），三角形重心G（c，0），
延長BG至D，使|GD|=

|BG|

2

，
設D（x，y），則

BD

=(x，y-b)，

BF

=(c，-b)，
由

BF

=

2

3

BD

，得：(c，-b)=

2

3

(x，y-b)，
解得：x=

3

2

c，y=-

b

2

．
而D(

3

2

c，-

b

2

)是橢圓的內接三角形一邊AC的中點，
所以，D點必在橢圓內部，
則

( 3 2 c)2

a2

+

(- b 2 )2

b2

＜1．
把b²=a²-c²代入上式整理得：

c2

a2

＜

1

3

．
即e＜

3

3

．
又因為橢圓離心率e∈（0，1），
所以，該橢圓離心率e的取值范圍是(0，

3

3

)．
故選B．