Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²（a、b∈R）．
（1）當a=0，b=-3時，求函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值；
（2）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值10，求f（x）的解析式；
（3）當a=-2時，若函數(shù)f（x）在[2，+∞）上是單調增函數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

（1）當a=0，b=-3時，f（x）=x³-3x，
所以f′（x）=3x²-3，
令f′（x）=0，解得x₁=-1，x₂=1
列表：

x	-1	（-1，1）	1	（1，3）	3
f′（x）	0	-	0	+
f（x）	極大值2	減函數(shù)	極小值-2	增函數(shù)	18

從上表可知，函數(shù)f（x）在[-1，3]上的最大值為18．
（2）因為f（x）=x³+ax²+bx+a²，所以f'（x）=3x²+2ax+b，
由已知條件，得

f′(1)=0 f(1)=10.

即

2a+b+3=0 a2+a+b+1=10.

解得

a=4 b=-11

或

a=-3 b=3.

下面分別檢驗：
①當a=4，b=-11時，f（x）=x³+4x²-11x+16，f′（x）=3x²+8x-11，
令f′（x）=0，即3x²+8x-11=0，解得x1=-

11

3

，x₂=1，
列表：

x	(-∞，- 11 3 )	- 11 3	(- 11 3 ，1)	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	極大值	減函數(shù)	極小值10	增函數(shù)

由上表可知，f（x）在x=1處取極小值10，符合題意．
②當a=-3，b=3時，f（x）=x³-3x²+3x+9，f′（x）=3x²-6x+3=3（x²-2x+1）=3（x-1）²≥0，f（x）為增函數(shù)，不合題意，舍去．
所以當a=4，b=-11時，f（x）=x³+4x²-11x+16為所求函數(shù)的解析式．
綜上所述，所求函數(shù)的解析式為f（x）=x³+4x²-11x+16．
（3）當a=-2時，f（x）=x³-2x²+bx+4，f'（x）=3x²-4x+b，
此導函數(shù)是二次函數(shù)，二次項系數(shù)大于0，且對稱軸為x=

2

3

，
因為函數(shù)f（x）在[2，+∞）上單調遞增，所以f^′（x）≥0在[2，+∞）上恒成立，
也就是f'（2）≥0，
即3×2²-4×2+b≥0，解得b≥-4，
所以，b的取值范圍是[-4，+∞）．