Question

已知函數，其中。。
（1）若是函數的極值點，求實數a的值；
（2）若函數的圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）若函數在上有兩個零點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

（1）；
（2）；
（3）

本試題主要是考查了導數在研究函數中的運用。
（1）根據是函數的極值點，得到在該點處的導數值為零得到參數a的值。
（2）函數的圖象上任意一點處切線的斜率恒成立，則利用導數恒小于等于2.5求解實數a的取值范圍；
（3）因為函數在上有兩個零點，則利用導數來分析函數的單調性，得到極值與x軸的位置關系，得到結論。
解：
      ------------------2分
（1）且          ---------4分
（2）對任意的恒成立      -----------5分
對任意的恒成立   
 
而當時，取最大值為1，
，且，        --------------------7分
（3），且
；或；
在和上遞增；而在上遞減。 ----8分
當時
i），則在上遞增，在上不可能有兩個零點。-9分
ii），則在上遞減，而在上遞增。      
在上有極小值（也就是最小值）
而
    
時，在上有兩個零點。---------------------12分
iii），則在上遞減，在上不可能有兩個零點。--13分
綜上所述：            -------------------14分