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已知向量
a
=（2cosx，cos2x），
b
=（sinx，1），令f（x）=
a
•
b
，
（I）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當x∈[
π
8
，
3π
8
]且f（x）=
2
2
，求cos2x的值．
分析：（I）利用向量的數量積，二倍角與兩角和的正弦函數化簡函數為 一個角的一個三角函數的形式，通過正弦函數的單調性求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）通過x∈[
π
8
，
3π
8
]得到2x+
π
4
∈[
π
2
，π]結合f（x）=
2
2
，求出2x的值，然后求cos2x的值．
解答：解：（Ⅰ）f（x）=
a
•
b
=2sinx•cosx+cos2x=sin2x+cos2x=
2
sin(2x+
π
4
)
解-
π
2
+2kπ＜2x+
π
4
＜
π
2
+2kπ，k∈Z得-
3π
8
+kπ＜x＜
π
8
+kπ，k∈Z
∴f（x）的單調遞增區間是(-
3π
8
+kπ，
π
8
+kπ)(k∈Z)
（Ⅱ）當x∈[
π
8
，
3π
8
]時，2x+
π
4
∈[
π
2
，π]，由f（x）=
2
2
得sin(2x+
π
4
)=
1
2

∴2x+
π
4
=
5π
6
，解得2x=
7π
12
，
所以cos2x=cos
7π
12
=cos105°=
2
-
6
4
點評：本題是中檔題，考查三角函數的基本性質的應用，考查計算能力，常考題型．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函數f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a為常數）．
（1）求函數f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）若函數g（x）的圖象關于y軸對稱，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知對任意實數x1，x2，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，當且僅當x1=x2時取“=”．求證：當a＞
2π
3
時，函數g（x）在（-∞，+∞）上是增函數．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知向量
a
=（2cosx，sin2x），
b
=（2sinx，cos2x）（x∈R），且f（x）=|
a
|-|
b
|，則f（x）的最大值
1
1
．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
a
=（2cosx，2sinx），
b
=(cosx，-
3
cosx)，函數f（x）=
a
•
b
，g(x)=f(
π
6
x+
π
3
)+ax（a為常數）．
（1）求函數f（x）圖象的對稱軸方程；
（2）若函數g（x）的圖象關于y軸對稱，求g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2011）的值；
（3）已知對任意實數x1，x2，都有|cos
π
3
x1-cos
π
3
x2|≤
π
3
|x1-x2|成立，當且僅當x1=x2時取“=”．求證：當a＞
2π
3
時，函數g（x）在（-∞，+∞）上是增函數．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知向量
a
=（2cosx，cos2x），
b
=（sinx，1），令f（x）=
a
•
b
，
（I）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當x∈[
π
8
，
3π
8
]且f（x）=
2
2
，求cos2x的值．

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