Question

已知兩個等差數列5，8，11，…；                                      ①

3，7，11，….                                                                ②

它們的項數為100項，請問它們有多少個彼此具有相同數值的項.

Answer 1

思路解析：求出兩個數列的通項公式，令兩式相等，發現項數的關系即得.

解法一：由數列①，得a_n=3n+2，由數列②得a_m=4m-1.

其中1≤n≤100，1≤m≤100，

據題意有a_n=a_m，即3n+2=4m-1，

∴n=m-1.

由于n、m均為自然數，必有m=3t，t∈N^*，

即n=4t-1.

∴

由于t∈N^*，故最大的t值是25.

因此，它們有25個數值相同的項.

解法二：設兩個數列的共同項組成新數列｛c_n｝，則c₁=11.

又數列①的通項公式a_n=3n+2.

數列②的通項公式b_n=4n-1.

∴數列｛c_n｝仍為等差數列，且公差d=12.

c_n=11+（n-1）×12=12n-1，而a₁₀₀=302，b₁₀₀=399.

∴c_n=12n-1≤302，得n≤25.25.

因此，兩數列共有25個相同的項.