Question

（1）已知平面上兩定點A（-2，0）．B（2，0），且動點M標滿足

MA

•

MB

=0，求動點M的軌跡方程；
（2）若把（1）的M的軌跡圖象向右平移一個單位，再向下平移一個單位，恰與直線x+ky-3=0 相切，試求實數k的值；
（3）如圖，l是經過橢圓

y2

25

+

x2

16

=1長軸頂點A且與長軸垂直的直線，E．F是兩個焦點，點P∈l，P不與A重合．若∠EPF=α，求α的取值范圍．
并將此題類比到雙曲線：

y2

25

-

x2

16

=1，l是經過焦點F且與實軸垂直的直線，A、B是兩個頂點，點P∈l，P不與F重合，請作出其圖象．若∠APB=α，寫出角α的取值范圍．（不需要解題過程）

Answer 1

分析：（1）設點M為（x，y）代入題目中的條件

MA

•

MB

=0可得x²+y²=4即得到點M的軌跡方程．
（2）由題意得得到新的圓的方程（x-1）²+（y+1）²=4，由其與直線x+ky-3=0 相切可得k=0或k=

4

3

．
（3）（ⅰ）由題得α=∠EPA-∠FPA，所以tanα=tan（∠EPA-∠FPA），可得0＜tanα≤

3

4

即0＜α≤arctan

3

4

（ⅱ）類比橢圓的證明方法得到雙曲線的類似的性質0＜α≤arctan

5

4

．

解答：解：（1）設M(x，y)，由

MA

•

MB

=0得x2+y2=4，此即點M的軌跡方程．
（2）將x²+y²=4向右平移一個單位，再向下平移一個單位后，
得到圓（x-1）²+（y+1）²=4
依題意有

|k+2|

k2+1

=2，得k=0或k=

4

3

．
（3）（ⅰ）證明：不妨設點P在A的右側，并設P（t，-5）（t＞0），
則tan∠EPA=

8

t

，tan∠FPA=

2

t

所以tanα=tan(∠EPA-∠FPA)=

8 t - 2 t

1+ 16 t2

=

6

t+ 16 t

≤

3

4

所以0＜tanα≤

3

4

．顯然α為銳角，即：0＜α≤arctan

3

4

（ⅱ）如圖．（圖形中沒有體現出雙曲線的漸近性的，扣1分）0＜α≤arctan

5

4

．

點評：解決此類問題的關鍵是把向量條件坐標化，熟練掌握直線與圓的位置關系以及橢圓與雙曲線的幾何性質．