Question

已知向量，設函數，x∈[0，π]
（1）求f（x）的單調區間；
（2）若f（x）=0在區間[0，π]上有兩個不同的根α，β，求cos（α+β）的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意，可先由向量的數量積運算及三角恒等變換，得出，由此函數是一個復合函數，分類討論cosx的取值范圍，利用復合函數的單調性的判斷規則判斷出單調性區間；
（2）法一：f（x）=0在區間[0，π]上有兩個不同的根α，β，可得有兩個根，此兩根為cosα，cosβ，由根與系數的關系，再由由到角三角函數關系，解出易求cos（α+β）的值；
法二：f（x）=0在區間[0，π]上有兩個不同的根α，β，可得有兩個根，此兩根為cosα，cosβ，解一元二次方程可得出cosα，cosβ的值，再解出兩角的正弦值，代入cos（α+β）的展開式，即可求cos（α+β）的值
解答：解：（1）∵
∴
令t=cosx，
當時，，且t=cosx為減函數
又在上時減函數，
∴f（x）在上是增函數
當時，，且t=cosx為減函數
又在上時增函數，
∴f（x）在上是減函數
綜上，f（x）的單調區間為，
（2）法一：由f（x）=0得，，即
令t=cosx，則cosα，cosβ是方程的兩個根，從而
sin²α•sin²β=（1-cos²α）（1-cos²β）=1-（cos²α+cos²β）+cos²α•cos²β=
∴，
∴
法二：由f（x）=0得，，即
不妨設，
則，
∴
點評：本題考查平面向量與三角函數的綜合題，考查了平面向量的數量積公式，三角函數的復合函數單調性判斷，解三角方程，兩角和與差的余弦函數，解題的關鍵是熟練掌握數量積公式及三角恒等變換公式，一元二次方程的解法，根與系數的關系等知訓，本題的難點是第一問中對函數單調敬意的求解，由于本題的函數是內層為單調性函數，外層函數不是單調性函數，解題時由外而內，根據外層函數的單調區間確定出內層函數的相應單調區間即可得出復合函數的單調區間，題后注意總結這類題的解題的規律，本題運算量大，綜合性強，考查了推理判斷的能力及計算能力，分類討論的思想，方程的思想