Question

（2013•湖北）古希臘畢達哥拉斯學派的數學家研究過各種多邊形數，如三角形數1，3，6，10，…，第n個三角形數為

n(n+1)

2

=

1

2

n2+

1

2

n．記第n個k邊形數為N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k邊形數中第n個數的表達式：
三角形數N(n，3)=

1

2

n2+

1

2

n，
正方形數N（n，4）=n²，
五邊形數N(n，5)=

3

2

n2-

1

2

n，
六邊形數N（n，6）=2n²-n，
…
可以推測N（n，k）的表達式，由此計算N（10，24）=

1000

．

Answer 1

分析：觀察已知式子的規律，并改寫形式，歸納可得N(n，k)=

k-2

2

n2+

4-k

2

n，把n=10，k=24代入可得答案．

解答：解：原已知式子可化為：N(n，3)=

1

2

n2+

1

2

n=

3-2

2

n2+

4-3

2

n，
N(n，4)=n2=

4-2

2

n2+

4-4

2

n，N(n，5)=

3

2

n2-

1

2

n=

5-2

2

n2+

4-5

2

n，
N(n，6)=2n2-n=

6-2

2

n2+

4-6

2

n，
由歸納推理可得N(n，k)=

k-2

2

n2+

4-k

2

n，
故N(10，24)=

24-2

2

×102+

4-24

2

×10=1100-100=1000
故答案為：1000

點評：本題考查歸納推理，觀察已知式子的規律并改寫形式是解決問題的關鍵，屬基礎題．