Question

已知sinα，cosα是方程25x²-5（2t+1）x+t²+t=0的兩根，且α為銳角．
（1）求t的值；
（2）求以

1

sinα

 ， 

1

cosα

為兩根的一元二次方程．

Answer 1

分析：（1）根據已知中sinα，cosα是方程25x²-5（2t+1）x+t²+t=0的兩根，由韋達定理可得sinα+cosα=

2t+1

10

，sinα•cosα=

t2+t

50

，根據sin²α+cos²α=（sinα+cosα）²-2•sinα•cosα=1，我們構造關于t的方程，求出t的值；
（2）設以

1

sinα

 ， 

1

cosα

為兩根的一元二次方程為y²+by+c=0，由韋達定理分別求出b，c的值即可得到滿足條件的方程．

解答：解：（1）∵sinα，cosα是方程25x²-5（2t+1）x+t²+t=0的兩根，
∴sinα+cosα=

2t+1

10

，sinα•cosα=

t2+t

50

∴sin²α+cos²α=（sinα+cosα）²-2•sinα•cosα=（

2t+1

10

）²-2•

t2+t

50

=1
解得t=3，t=-4
又∵α為銳角
∴t＞0，故t=-4（舍去）
∴t=3，
（2）由（1）可得sinα+cosα=

2t+1

10

=

7

10

，sinα•cosα=

t2+t

50

=

6

25

設以

1

sinα

 ， 

1

cosα

為兩根的一元二次方程為y²+by+c=0
則-b=

1

sinα

+

1

cosα

=

sinα+cosα

sinα•cosα

=

7 10

6 25

=

35

12

∴b=-

35

12

C=

1

sinα

•

1

cosα

=

1

sinα•cosα

=

25

6

∴以

1

sinα

 ， 

1

cosα

為兩根的一元二次方程y2-

35

12

y+

25

6

=0

點評：本題考查的知識點是三角函數恒等變換，韋達定理（一元二次方程根與系數的關系），熟練掌握韋定定理，是解答本題的關鍵，其中（1）中易忽略α為銳角，而錯解為t=3，或t=-4．