Question

（1）已知α，β都是銳角，且sinα=

5

5

，sinβ=

10

10

，求證：α+β=

π

4

（2）已知cos（α-β）=-

4

5

，cos（α+β）=

4

5

，且(α-β)∈(

π

2

，π)，(α+β)∈(

3π

2

，2π)，求cos2α，cos2β的值．

Answer 1

分析：（1）由α，β都是銳角，根據sinα與sinβ的值，利用同角三角函數間的基本關系求出cosα與cosβ的值，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡cos（α+β），將各自的值代入求出cos（α+β）的值，根據α+β是第一象限角，利用特殊角的三角函數值求出α+β的度數，得證；
（2）根據α+β與α-β的范圍，以及cos（α+β）與cos（α-β）的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sin（α+β）與sin（α-β）的值，所求式子變形后，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，將各自的值代入計算即可求出值．

解答：（1）證明：∵α，β都是銳角，
∴cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，cosβ=

1-sin2β

=

3 10

10

，
∴cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=

2

2

，
∴α+β是第一、四象限角，
又∵0＜α+β＜π，
∴α+β=

π

4

；
（2）解：∵α+β∈（

3π

2

，2π），cos（α+β）=

4

5

，
∴sin（α+β）=-

1-cos2(α+β)

=-

3

5

，
又∵α-β∈（

π

2

，π），cos（α-β）=-

4

5

，
∴sin（α+β）=

1-cos2(α-β)

=

3

5

，
∴cos2α=cos[（α+β）+（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）-sin（α+β）sin（α-β）=-

7

25

，
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=-1．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦、余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，熟練掌握公式是解本題的關鍵．