Question

已知函數f(x)=

2x-1

mx+1

（x∈R），且f(3)=

7

9

．
（1）判斷函數y=f（x）在R上的單調性，并用定義法證明；
（2）若f(

1

x-1

)≥f(2)，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由f(3)=

7

9

求出m的值，得到函數f（x）的解析式．任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，我們構造出f（x₂）-f（x₁）的表達式，根據實數的性質，我們易出f（x₂）-f（x₁）的符號，進而根據函數單調性的定義，得到答案．
（2）由（1）知函數y=f（x）在R上為單調增函數，根據題意脫去函數符號“f“，轉化為關于x的分式不等式，解之即得．

解答：解：（1）由已知得

23-1

m3+1

=

7

9

，m³=8，∴m=2…（3分）
∴f(x)=

2x-1

2x+1

=

2x+1-2

2x+1

=1-

2

2x+1

任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂則f(x2)-f(x1)=1-

2

2x2+1

-(1-

2

2x1+1

)=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

∵(2x1+1)＞0，(2x2+1)＞0，∴(2x1+1)(2x2+1)＞0
又∵x₂＞x₁，∴2x2＞2x1，∴2x2-2x1＞0
∴

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

＞0，即f（x₂）-f（x₁）＞0，f（x₂）＞f（x₁）
∴函數y=f（x）在R上為單調增函數．                       …（9分）
（2）∵f(

1

x-1

)≥f(2)，由（1）知函數y=f（x）在R上為單調增函數，
∴

1

x-1

≥2，即

3-2x

x-1

≥0，
化簡得1＜x≤

3

2

，
∴x的取值范圍為{x|1＜x≤

3

2

}…（14分）（不寫集合形式不扣分）

點評：本題考查的知識點是函數單調性的判斷與證明，其中作差法（定義法）證明函數的單調性是我們中學階段證明函數單調性最重要的方法，一定要掌握其解的格式和步驟．