Question

已知函數f(x)=ex-

1

2

x2-ax（a∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數在R上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）如果函數g(x)=f(x)-(a-

1

2

)x2有兩個不同的極值點x₁，x₂，證明：a＞

e

2

．

Answer 1

分析：（1）根據導數的幾何意義，可以求出a的值，再根據切點坐標在曲線上和切線上，即可求出b的值，從而得到答案；
（2）將函數f（x）在R上是增函數，轉化為f'（x）＞0在R上恒成立，利用參變量分離轉化成a＜e^x-x在R上恒成立，
利用導數求h（x）=e^x-x的最小值，即可求得實數a的取值范圍；
（3）根據x₁，x₂是g（x）的兩個極值點，可以得到x₁，x₂是g′（x）=0的兩個根，根據關系，利用分析法，
將證明不等式轉化為a=

ex

2x+1

，即求p(x)=

ex

2x+1

的最小值問題，利用導數即可證得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=e^x-

1

2

x²-ax，
∴f′（x）=e^x-x-a，
∴根據導數的幾何意義可得，切線的斜率k=f'（0）=1-a，
∵切線方程為y=2x+b，則k=2，
∴1-a=2，解得a=-1，
∴f（x）=e^x-

1

2

x²+x，
∴f（0）=1，即切點（0，1），
∴1=2×0+b，解得b=1；
（Ⅱ）由題意f'（x）＞0即e^x-x-a≥0恒成立，
∴a≤e^x-x恒成立．
設h（x）=e^x-x，則h′（x）=e^x-1．
當x變化時，h′（x）、h（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
h′（x）	-	0	+
h（x）	減函數	極小值	增函數

∴h（x）_min=h（0）=1，
∴a≤1；
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）-（a-

1

2

）x²，
∴g（x）=e^x-

1

2

x²-ax-ax²+

1

2

x²=e^x-ax²-ax，
∴g′（x）=e^x-2ax-a，
∵x₁，x₂是函數g（x）的兩個不同極值點（不妨設x₁＜x₂），
∴e^x-2ax-a=0（*）有兩個不同的實數根x₁，x₂
當x=-

1

2

時，方程（*）不成立
則a=

ex

2x+1

，令p(x)=

ex

2x+1

，則p′(x)=

ex(2x-1)

(2x+1)2

由p′（x）=0得：x=

1

2

當x變化時，p（x），p′（x）變化情況如下表：

x	(-∞，- 1 2 )	(- 1 2 ， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
p（x）	-	-	0	+
p′（x）	單調遞減	單調遞減	極小值	單調遞增

∴當x∈(-∞，-

1

2

)時，方程（*）至多有一解，不合題意；
當x∈(-

1

2

，+∞)時，方程（*）若有兩個解，則a＞p(

1

2

)=

e

2

所以，a＞

e

2

．

點評：本題考查了利用導數研究在曲線某點處的切線方程，利用導數研究函數的極值，利用導數研究函數的單調性．同時考查了不等式的證明，證明過程中運用了構造函數的思想，是綜合性較強的一道導數應用題．屬于難題．