Question

已知圓A：(x+2)2+y2=

25

4

，圓B：(x-2)2+y2=

1

4

，動圓P與圓A、圓B均外切，直線l的方程為x=a（a≤

1

2

）．
（Ⅰ） 求動圓P的圓心的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點B的直線與曲線C交于M、N兩點，（1）求|MN|的最小值；（2）若MN的中點R在l上的射影Q滿足MQ⊥NQ，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據雙曲線的定義，可判斷所求軌跡為雙曲線，再利用雙曲線方程的求法求出軌跡C的方程．
（Ⅱ）（1）設出過點B的直線方程，代入雙曲線方程，用弦長公式求|MN|的長，再求最小值．
（2）由（1）可得|MN|=

6(1+m2)

1-3m2

，R、Q點的坐標也可用m和a表示R(

2

1-3m2

，

6m

1-3m2

)，Q(a，

6m

1-3m2

)
由MQ⊥NQ，知|RQ|=

1

2

|MN|．從而把a也表示為m的函數，求值域即可得a的范圍；也可設直線方程的點斜式，即設出過B直線的斜率k，代入雙曲線方程，用焦半徑公式求得|MN|，進而用類似思想求出a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）設動圓P的半徑為r，則|PA|=r+

5

2

，|PB|=r+

1

2

，
∴|PA|-|PB|=2．
故點P的軌跡是以A、B為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支，
其方程為x2-

y2

3

=1（x≥1）．
（Ⅱ）（1）設MN的方程為x=my+2，代入雙曲線方程，得（3m²-1）y²+12my+9=0．
由

3m2-1≠0 △＞0 y1y2＜0

，解得-

3

3

＜m＜

3

3

．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則|MN|=

1+m2

|y1-y2|=

6(m2+1)

1-3m2

=2(

4

1-3m2

-1)．
當m²=0時，|MN|_min=6．
（2）由（1）知R(

2

1-3m2

，

6m

1-3m2

)，Q(a，

6m

1-3m2

)．
由MQ⊥NQ，知|RQ|=

1

2

|MN|．
所以

2

1-3m2

-a=

3(m2+1)

1-3m2

，從而a=

3m2+1

3m2-1

=1-

2

1-3m2

．
由-

3

3

＜m＜

3

3

，得a≤-1．
另解：
（1）若MN的斜率存在，設斜率為k，則直線MN的方程為y=k（x-2），代入雙曲線方程，得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0．
由

3-k2≠0 △＞0 x1+x2= -4k2 3-k2 ＞0 x1x2=- 4k2+3 3-k2 ＞0.

解得k²＞3．
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|=6+

24

k2-3

＞6．
當直線斜率不存在時，x₁=x₂=2，得y₁=3，y₂=-3．此時|MN|=6．
所以|MN|_min=6．
（2）當MQ⊥NQ時，|RQ|=

|MN|

2

=x_R-a．①
又

|MB|

xM- 1 2

=

|NB|

xN- 1 2

=2，即

|MB|+|NB|

xM+xN-1

=2，
所以|MN|=4x_R-2，故xR=

|MN|+2

4

．②
將②代入①，得|MN|=2-4a．
由|MN|=2-4a≥6，得a≤-1．

點評：本題綜合考查了雙曲線的定義、直線與雙曲線的相交關系，求相交弦的弦長、中點的方法，焦點弦弦長的求法，設而不求方法的運用，解題需要較強的基本功