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已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-1，1)，
n
=(1，2)，點列Pn（an，bn）在L中，P1為L與y軸的公共點，等差數列{an}的公差為1．
（I）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若cn=
5
n|
P1Pn
|
(n≥2)，c1=1，數列{cn}的前n項和Sn滿足M+n2Sn≥6n對任意的n∈N*都成立，試求M的取值范圍．
分析：（I）首先運用向量數量積的運算得
m
=(2x-1，1)，
n
=(1，2)得：y=
m
•
n
=2x+1，然后再根據等差通項公式得an=a1+（n-1）×1=n-1，最后再根據bn=2an+1，得bn=2n-1
（Ⅱ）利用條件可得cn=
1
n-1
-
1
n
，從而Sn=1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)=2-
1
n
，故有
M+n2Sn≥6n可化為M+n2(2-
1
n
)≥6n，
要使M≥7n-2n2=-2(n-
7
4
)2+
49
8
對任意n∈N*都成立，
，從而可解．
解答：解：（I）由
m
=(2x-1，1)，
n
=(1，2)得：y=
m
•
n
=2x+1
∴L：y=2x+1，P1（0，1），即a1=0，b1=1，故an=n-1，bn=2n-1（n∈N*）
（Ⅱ）當n≥2時，Pn(n-1，2n-1)，
P1Pn
=(n-1，2n-2)，∴|
P1Pn
|=
5
(n-1)
故cn=
5
n|
P1Pn
|
=
1
n(n-1)
=
1
n-1
-
1
n

則Sn=1+(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n-1
-
1
n
)=2-
1
n

M+n2Sn≥6n可化為M+n2(2-
1
n
)≥6n，
要使M≥7n-2n2=-2(n-
7
4
)2+
49
8
對任意n∈N*都成立，

只須M≥6，當且僅當n=2時等號成立，即M的取值范圍為M≥6
點評：本題主要考查了數列與向量的綜合，考查裂項法求和，同時考查了最值法解決恒成立問題，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=（2x-b，1），
n
=（1，b+1），點列Pn（an，bn）在L中，P1為L與y軸的交點，等差數列{an}的公差為1，n∈N*．
（I）求數列{bn}的通項公式；
（Ⅱ）若f(n)=
an  n為正奇數
bn  n為正偶數
，令Sn=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（n）；試寫出Sn關于n的函數解析式；

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-b，1)，
n
=(1，1+b)，又知點列Pn（an，bn）∈L，P1為L與y軸的交點．等差數列{an}的公差為1，n∈N*．
（Ⅰ）求Pn（an，bn）；
（Ⅱ）若f(n)=
an，n=2k-1
bn，n=2k
k∈N*，f(k+11)=2f(k)，求出k的值；
（Ⅲ）對于數列{bn}，設Sn是其前n項和，是否存在一個與n無關的常數M，使
Sn
S2n
=M，若存在，求出此常數M，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(2x-b，1)，
n
=(1，b+1)，點列Pn（an，bn）在L中，P1為L與y軸的交點，等差數列{an}的公差為1，（n∈N*）
（1）求數列{an}，{bn}的通項公式；
（2）若cn=
5
n•|P1Pn|
，(n≥2)，求
lim
n→∞
(c2+c3+…+cn)
（3）若f(n)=
an，n=2k-1
bn，n=2k
(k∈N*)，是否存在k∈N*，使得f（k+11）=2f（k），若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（理） 已知點集L={(x，y)|y=
m
•
n
}，其中
m
=(x-2b，2)，
n
=(1，b+1)，點Pn（an，bn）∈L，P1=L∩{（x，y）|x=1}，且an+1-an=1，則數列{bn}的通項公式為
 
．

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