Question

（本小題滿分12分）

       已知函數f （x）＝alnx＋x²  （a為實常數）．[來源:ZXXK][來源:學*科*網Z*X*X*K]

   （Ⅰ）若a＝－2，求證：函數f （x）在（1，＋∞）上是增函數；

   （Ⅱ）求函數f （x）在[1，e]上的最小值及相應的x值；

   （Ⅲ）若當x∈[1，e]時，f （x）≤（a＋2）x恒成立，求實數a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（１）略；（２）ｅ；（３）

【解析】（1）當時，，

       當，，

  故函數在上是增函數．            …………2分

   （2），

       當，．

       若，在上非負（僅當，x=1時，），

       故函數在上是增函數，

       此時．　                         …………4分

       若，當時，；

       當時，，

       此時是減函數；

       當時，，

       此時是增函數．

       故

       ．           …………6分[來源:Zxxk.Com]

       若，在上非正（僅當，x=e時，），

       故函數在上是減函數，

       此時．                  …………7分

       綜上可知，當時，的最小值為1，相應的x值為1；

       當時，的最小值為，[來源:學§科§網Z§X§X§K]

       相應的x值為；

       當時，的最小值為，相應的x值為．      …………8分[來源:學.科.網]

   （3）不等式，                 

       可化為．

       ∵， ∴且等號不能同時取，

       所以，即，

       因而（）                                    …………9分

       令（），

       又，      …………10分

       當時，，，

       從而（僅當x=1時取等號），

       所以在上為增函數，   …………11分

       故的最大值為，

       所以a的取值范圍是． ……12分