Question

設二次函數y=f（x） 的圖象的頂點坐標為（1，1），且f（-1）=3．
（1）求f（x） 的解析式；
（2）設區間A=[1，m]，若x∈A時，恒有f（x）∈A，求m 的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）已知二次函數的頂點坐標為（1，4），設拋物線的頂點式為y=a（x-1）²+4，將點（-2，-5）代入求a即可．
（2）由（1）知，f(x)=

1

2

(x-1)2+1 在[1，m]上是單調增函數，利用二次函數的音調性得出m 的取值范圍即可．

解答：解：（1）由題意，設f（x）=a（x-1）²+1（a≠0），…（3分）
由（-1）=a（-1-1）²+1=3，解得a=

1

2

，…（6分）
∴f(x)=

1

2

(x-1)2+1．    …（7分）
（2）由（1）知，f(x)=

1

2

(x-1)2+1 在[1，m]上是單調增函數，
∴當x∈A時，f（x）_min=f（1）=1，f(x)max=f(m)=

1

2

(m-1)2+1．…（9分）
若x∈A時，恒有f（x）∈A，則f(m)=

1

2

(m-1)2+1≤m，…（11分）
∴m²-4m+3≤0，解得1≤m≤3 …（13分）
又m＞1，∴m 的取值范圍是（1，3]．            …（14分）

點評：本題考查了用頂點式求拋物線解析式的一般方法、二次函數在閉區間上的最值，必須熟練掌握拋物線解析式的幾種形式．