Question

已知M=

3 -2 2 -2

，α=

-1 4

，試計算：M¹⁰α
選修4-4　參數方程與極坐標
過點P（-3，0）且傾斜角為30°直線和曲線

x=t+ 1 t y=t- 1 t

 (t為參數)相交于A、B兩點．求線段AB的長．

Answer 1

分析：（1）先根據特征多項式建立方程求出特征值，然后分別求出特征值所對應的一個特征向量，將向量

a

用兩特征向量線性表示，最后利用矩陣與向量乘的意義進行求解；
（2）寫出直線的參數方程，代入曲線方程得到關于s 的一元二次方程，利用根與系數的關系，代入弦長公式求得 AB的長．

解答：解：（1）矩陣M的特征多項式為：f（λ）=λ²-λ-2=0，λ₁=-1，λ₂=2．
λ₁=-1對應的一個特征向量為：

α1

=

1 2

，λ₂=2對應的一個特征向量為：

α2

=

2 1

．（4分）
設a=m

a1

+n

a2

，即

.

-1   4

.

=m

.

1   2

.

+n

.

2   1

.

，∴

m+2n=-1 2m+n=4

解得

m=3 n=-2

．（5分）
M10α=3(λ1)10

α1

+(-2)(λ2)10

α2

=3(-1)10

.

1   2

.

+（-2）10

.

2   1

.

=

.

-4093   -2042

.

或

3-212 6-211

．
（2）直線的參數方程為

x = -3 +  3 2 s y =  1 2 s

（s 為參數），曲線

x=t+ 1 t y=t- 1 t

可以化為 x²-y²=4．
將直線的參數方程代入上式，得 s2-6

3

+ 10 = 0．
設A、B對應的參數分別為 s₁，s₂，∴s1+  s2= 6 

3

，s₁•s₂=10．
∴AB=|s₁-s₂|=

(s1- s2)2-4s1s2

=2

17

．

點評：本題主要考查了特征值的應用，一元二次方程根與系數的關系，弦長公式的應用，利用 AB=|s₁-s₂|=

(s1- s2)2-4s1s2

是解題的關鍵，屬于基礎題．