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精英家教網 > 高中數學 > 題目詳情
在△ABC中，
AB
•
AC
=0．
（1）若P是△ABC所在平面上一點，且|
AP
|=2，∠CAP為銳角，
AP
•
AC
=2
AP
•
AB
=2，求|
AB
+
AC
+
AP
|的最小值．
（2）滿足條件（1）的點P能否在△ABC的邊BC上？并說明理由．
分析：（1）設∠CAP=α，可得∠BAP=
π
2
-α，結合
AP
•
AC
=2
AP
•
AB
=2且|
AP
|=2，可得|
AC
|=
1
cosα
，|
AB
|=
1
2sinα
．利用向量模的性質，可得|
AB
+
AC
+
AP
|2的表達式，再利用基本不等式即可算出|
AB
+
AC
+
AP
|的最小值．
（2）由（1）中|
AC
|=
1
cosα
且|
AB
|=
1
2sinα
，可求出直線AB的方程含有參數α的形式，再將P點坐標代入直線方程加以驗證，即可得到結論是否成立．
解答：解：（1）∵△ABC中，
AB
•
AC
=0，∴
AB
⊥
AC

設∠CAP=α，α∈（0，
π
2
），則∠BAP=
π
2
-α，
又∵
AP
•
AC
=2
AP
•
AB
=2，|
AP
|=2，
∴|
AP
|•|
AC
|cosα=2|
AP
|•|
AB
|cos（
π
2
-α）=2，可得|
AC
|=
1
cosα
，|
AB
|=
1
2sinα
，
因此，|
AB
+
AC
+
AP
|2=|
AB
|2+|
AC
|2+|
AP
|2+2
AB
•
AC
+2
AP
•AB
+2
AC
•
AP

=
1
4sin2α
+
1
cos2α
+10=
sin2α
cos2α
+
cos2α
4sin2α
+
45
4
≥
49
4

故|
AB
+
AC
+
AP
|的最小值為
7
2

（2）滿足條件（1）的點P不能在△ABC的邊BC上，理由如下：
以C為坐標原點，分別以AC、AB為x、y軸正方向建立坐標系，
由（1）中|
AC
|=
1
cosα
，|
AB
|=
1
2sinα
，
可得直線AB的方程的方程為xcosα+2ysinα=1
又∵|
AP
|=2，∠CAP=α，
故P點坐標為（2cosα，2sinα），
將P代入AB的方程得2cos2α+4sin2α=2+2sin2α＞1，矛盾
故P點不在△ABC的邊BC上
點評：本題給出向量關系式，求動點的軌跡方程并討論模的最小值和點P位置等問題．著重考查了向量的模、基本不等式和點與直線的關系等知識點，屬于難題．
練習冊系列答案
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在△ABC中，AB=4，AC=2，S△ABC=2
3
．
（1）求△ABC外接圓的面積．
（ 2）求cos（2B+
π
3
）的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，AB=a，AC=b，當
a
•
b
＜0時，△ABC為
鈍角三角形
鈍角三角形
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=
7
，則△ABC的面積為
3
3
2
3
3
2
，△ABC的外接圓的面積為
7π
3
7π
3
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

在△ABC中，
AB
=
a
，
AC
=
b
，M為AB的中點，
BN
=
1
3
BC
，則
 
．

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