Question

已知函數f（x）=2x³-3（k+1）x²+1（x∈R）
（1）若該函數在x=-1處取得極值，求實數k的值；
（2）求f（x）的單調區間；
（3）求f（x）在[0，1]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）若該函數在x=-1處取得極值，則f′（-1）=0，代入可得k值；
（2）根據（1）中的導函數，分k=-1，k＜-1和k＞-1三種情況分別討論導函數的符號，進而根據導函數符號與函數單調性的關系得到f（x）的單調區間；
（3）結合（2）中函數的單調性，分k=-1，k＜-1，-1＜k＜0和k≥0四種情況討論函數的最值．

解答：解：（1）∵f（x）=2x³-3（k+1）x²+1
∴f′（x）=6x²-6（k+1）x
∵該函數在x=-1處取得極值，
∴f′（-1）=6+6（k+1）=0
解得：k=-2
（2）①當k=-1時，f′（x）=6x²≥0恒成立，f（x）在R上是增函數；
②當k＜-1時，當x∈（-∞，k+1）∪（0，+∞）時，f′（x）＞0
當x∈（k+1，0）時，f′（x）＜0
故此時，f（x）的單調增區間為（-∞，k+1），（0，+∞）
單調減區間為（k+1，0）
③當k＞-1時，當x∈（-∞，0）∪（k+1，+∞）時，f′（x）＞0
當x∈（0，k+1）時，f′（x）＜0
故此時，f（x）的單調增區間為（-∞，0），（k+1，+∞）
單調減區間為（0，k+1）
（3）由（2）中結論可得：
①當k=-1時，f_min（x）=f（0）=1；
②當k＜-1時，f_min（x）=f（0）=1
③當-1＜k＜0時，f_min（x）=f（k+1）=-（k+1）³+1
④當k≥0時，f_min（x）=f（1）=-3k

點評：本題考查的知識點是利用導數求閉區間上的函數的最值，利用導數研究函數的極值，其中本題中要注意分類討論時，對分類標準的合理選擇．