Question

已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若≥0對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；
（3）在（2）的條件下，證明：

Answer 1

（1）其最小值為（2）（3）由累加即可得證.

解析試題分析：（1）由題意，
由得.
當(dāng)時(shí), ；當(dāng)時(shí)，.
∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
即在處取得極小值，且為最小值，
其最小值為     
（2）對(duì)任意的恒成立，即在上，.
由（1），設(shè)，所以.
由得.
易知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴ 在處取得最大值，而.
因此的解為，∴.     
（3）由（2）知，對(duì)任意實(shí)數(shù)均有，即.
令 ，則.
∴ .
∴
   
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問(wèn)題，同時(shí)考查不等式的證明，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性．