Question

已知集合是正整數的一個排列，函數
 對于，定義：，，稱為的滿意指數．排列為排列的生成列．
（Ⅰ）當時，寫出排列的生成列；
（Ⅱ）證明：若和為中兩個不同排列，則它們的生成列也不同；
（Ⅲ）對于中的排列，進行如下操作：將排列從左至右第一個滿意指數為負數的項調至首項，其它各項順序不變，得到一個新的排列．證明：新的排列的各項滿意指數之和比原排列的各項滿意指數之和至少增加．

Answer 1

（Ｉ）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

試題分析：弄懂已知條件“對于，定義：，，稱為的滿意指數．”是解題的關鍵；把握第(I)問，由特殊到一般，才能順利求（II）(III).
試題解析：（Ⅰ）解：當時，排列的生成列為．             3分
（Ⅱ）證明：設的生成列是；的生成列是與．
從右往左數，設排列與第一個不同的項為與，即：，，，，．
顯然 ，，，，下面證明：．          5分
由滿意指數的定義知，的滿意指數為排列中前項中比小的項的個數減去比大的項的個數．由于排列的前項各不相同，設這項中有項比小，則有項比大，從而．
同理，設排列中有項比小，則有項比大，從而．
因為 與是個不同數的兩個不同排列，且，所以 ， 從而 ． 所以排列和的生成列也不同．                     8分
（Ⅲ）證明：設排列的生成列為，且為中從左至右第一個滿意指數為負數的項，所以 ．                   9分
依題意進行操作，排列變為排列，設該排列的生成列為．                                                          10分
所以
     ．
所以，新排列的各項滿意指數之和比原排列的各項滿意指數之和至少增加．      13分