Question

某工廠要制造A種電子裝置45臺，B電子裝置55臺，為了給每臺裝配一個外殼，要從兩種不同的薄鋼板上截取，已知甲種薄鋼板每張面積為2平方米，可作A的外殼3個和B的外殼5個；乙種薄鋼板每張面積3平方米，可作A和B的外殼各6個，設用這兩種薄鋼板分別為x，y張，
（1）寫出x，y滿足的約束條件；
（2）x，y分別取什么值時，才能使總的用料面積最小，最小面積為多少？

Answer 1

分析：（1）根據已知條件，設用甲種薄金屬板x張，乙種薄金屬板y張，推出做A種的外殼個數，B種的外殼個數，由題意得出約束條件．
（2）利用（1）的約束條件列出目標函數，然后利用線性規劃，求出最優解．

解答：解：（1）設用甲種薄金屬板x張，乙種薄金屬板y張，總的用料面積為z平方米．
則可做A種的外殼為3x+5y個，B種的外殼為5x+6y個，
由題意得：

3x+5y≥45 5x+6y≥55 x，y∈N

，
（2）由（1）可知

3x+5y≥45 5x+6y≥55 x，y∈N

，
所有薄金屬板的總面積為：z=2x+3y
甲、乙兩種薄鋼板張數的取值范圍如圖中陰影部分所示（x，y取整數）．
要使z最小，目標函數表示的直線過點A（

5

7

，

60

7

），由于其不是整數點，
故平移過點A的直線：z=2x+3y，當其經過平面區域內的點（2，8）時，
這時面積為28平方米，此時直線同時也經過點（5，6）．
因此用甲、乙兩種薄鋼板的張數分別為2張、8張或者5張、6張，才能使總的用料面積最小．

點評：本題考查的知識點是簡單的線性規劃的應用，在解決線性規劃的應用題時，其步驟為：
①分析題目中相關量的關系，列出不等式組，即約束條件．
②寫出目標函數．
③由約束條件畫出可行域．
④分析目標函數Z與直線截距之間的關系．
⑤使用平移直線法求出最優解．
⑥還原到現實實際問題．