Question

f（x）=ax³+bx²+cx+d，其中a、b、c、是以d為公差的等差數列，且a＞0，d＞0，設x₀為f（x）的極小值點。在[1-，0]上，f ^/（x）在x₁處取最大值，在x₂處取最小值，記點A（x₀ ，f（x₀）），B（x₁ ，f^/（x₁）），C（x₂ ，f^/（x₂））。

（1）求x₀的值；

（2）若△ABC有一條邊平行于x軸，且面積為2+，求a、d的值。

Answer 1

解：（1）∵2b=a+c

f^/（x）=ax²+2bx+c= ax²+（a+c）x+c=a（x+1）（x+）      

∵a＞0，d＞0，∴＞1，

令f^/（x）=0，得：x₁=-，x₂=-1，x₁＜x₂，

列表可知，x₁為極小值點，x₂為極大值點；∴x₀=-1； 

（2）f^/（x）的圖象是開口向上，對稱軸為x=-的拋物線，-＜-1，

由f^/（x）在[1-，0]上的圖象可知：最大值為f^/（0）=c，即x₁=0，

f^/（x）在[1-，0]上的最小值為f^/（-）=-，即x₂=-，

∴A（-1，-），B（0，c），C（-，-）

∵△ABC的一邊平行于x軸，∴AC平行于x軸，

∴-=- ∴a=d，

b=（+1）d，c=（+2）d，代入

S_△=|（-1）（C+）|=2+得：

∴d=3，a=3。