Question

若正實數a，b滿足a+b=1，則（　　）

• A、

  1

  a

  +

  1

  b

  有最大值4
• B、ab有最小值

  1

  4

• C、

  a

  +

  b

  有最大值

  2

• D、a²+b²有最小值

  2

  2

Answer 1

分析：由于

1

a

+

1

b

=

a+b

a

+

a+b

b

=2+

b

a

+

a

b

≥4，故A不正確．
由基本不等式可得 a+b=1≥2

ab

，可得 ab≤

1

4

，故B不正確．
由于  (

a

+

b

)2=1+2

ab

≤2，故 

a

+

b

≤

2

，故 C 正確．
由a²+b² =（a+b）²-2ab≥1-

1

2

=

1

2

，故D不正確．

解答：解：∵正實數a，b滿足a+b=1，
∴

1

a

+

1

b

=

a+b

a

+

a+b

b

=2+

b

a

+

a

b

≥2+2=4，故

1

a

+

1

b

有最小值4，故A不正確．
由基本不等式可得 a+b=1≥2

ab

，∴ab≤

1

4

，故ab有最大值

1

4

，故B不正確．
 由于  (

a

+

b

)2=a+b+2

ab

=1+2

ab

≤2，∴

a

+

b

≤

2

，故

a

+

b

有最大值為

2

，故C正確．
∵a²+b² =（a+b）²-2ab=1-2ab≥1-

1

2

=

1

2

，故a²+b²有最小值

1

2

，故D不正確．
故選C．

點評：本題考查基本不等式的應用，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關鍵．