Question

（2013•紹興一模）已知a為[0，1]上的任意實數，函數f₁（x）=x-a，f₂（x）=-x²+1，f₃（x）=-x³+x²，則以下結論：
①對于任意x₀∈R，總存在f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），使得f_i（x）f_j（x）≥0；
②對于任意x₀∈R，總存在f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），使得f_i（x）f_j（x）≤0；
③對于任意的函數f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），總存在x₀∈R，使得；f_i（x）f_j（x）＞0；
④對于任意的函數f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），總存在x₀∈R，使得；f_i（x）f_j（x）＜0．
其中正確的為

①④

．（填寫所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：根據f₁（x）=x-a，f₂（x）=-x²+1，f₃（x）=-x³+x²的符號變化規律，逐項檢驗即可得到答案，注意四個命題間的關系．

解答：解：①當x≤-1時，f₂（x）=-x²+1≤0，f₁（x）=x-a≤-1-a＜0，此時f₁（x）f₂（x）≥0；
當-1＜x≤1時，f₂（x）≥0，f₃（x）=-x³+x²=x²（1-x）≥0，此時f₂（x）f₃（x）≥0；
當x＞1時，f₂（x）=-x²+1＜0，f₃（x）=-x³+x²=x²（1-x）＜0，此時f₂（x）f₃（x）＞0；
綜上，對于任意x₀∈R，總存在f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），使得f_i（x）f_j（x）≥0，
故①正確；
②若a=0，當0＜x＜1時，f₁（x）＞0，f₂（x）＞0，f₃（x）＞0，此時不存在f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），使得f_i（x）f_j（x）≤0；
故②錯誤；
③當a=1時，f₁（x）=x-1，當x≤1時，f₁（x）≤0，f₃（x）≥0，當x＞1時，f₁（x）＞0，f₃（x）＜0，即對任意x總有f₁（x）f₃（x）≤0，
故③錯誤；
④對f₁（x）=x-a，f₂（x）=-x²+1，
當x＞1時，f₁（x）＞0，f₂（x）＜0，∴f₁（x）f₂（x）＜0；
對f₁（x）=x-a，f₃（x）=-x³+x²，
當x＞1時，f₁（x）＞0，f₃（x）＜0，∴f₁（x）f₃（x）＜0；
對f₂（x）=-x²+1，f₃（x）=-x³+x²，
當x＜-1時，f₂（x）＜0，f₃（x）＞0，∴f₂（x）f₃（x）＜0；
∴對于任意的函數f_i（x），f_j（x）（{i，j}?{1，2，3}），總存在x₀∈R，使得f_i（x）f_j（x）＜0．
故④正確；
故答案為：①④．

點評：本題考查函數恒成立、全稱命題和特稱命題，考查學生綜合運用知識分析解決問題的能力．