Question

．(本小題滿分13分)

如圖，橢圓 (a>b>0)的上、下頂點(diǎn)分別為A、B，已知點(diǎn)B在直線l：y=－1上，且橢圓的離心率e =．(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(Ⅱ)設(shè)P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn)，PQ⊥y軸，Q為垂足，M為線段PQ中點(diǎn)，直線AM交直線l于點(diǎn)C，N為線段BC的中點(diǎn)，求證：OM⊥MN

 

 

 

Answer 1

【答案】

 

解：（Ⅰ）依題意，得． ······················· 1分

∵，，∴．················· 3分

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．······················ 4分

（Ⅱ）（法一）

證明：設(shè)，，

則，且．

∵為線段中點(diǎn)，  ∴．··················· 5分

又，∴直線的方程為．

令，得．  ······················· 8分

又，為線段的中點(diǎn)，∴．············ 9分

∴． ······················ 10分

∴

=．··············· 12分

∴．······························ 13分

（法二）同（法一）得： ，．··········· 9分

當(dāng)時，，

此時，

∴，不存在，∴．

···································· 10分

當(dāng)時，，

，

∵，∴ ······················ 12分

綜上得．···························· 13分

 

【解析】略