Question

（2012•甘肅一模）設橢圓M：

x2

a2

+

y2

2

=1(a＞

2

)的右焦點為F₁，直線l：x=

a2

a2-2

與x軸交于點A，若

OF1

+2

AF1

=0（其中O為坐標原點）．
（1）求橢圓M的方程；
（2）設P是橢圓M上的任意一點，EF為圓N：x²+（y-2）²=1的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個端點），求

PE

•

PF

的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出點A，F₁的坐標，利用

OF1

+2

AF1

=0，即可求得橢圓的方程；
（2）方法1：設圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N，則

PE

•

PF

=(

NE

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=(-

NF

-

NP

)•(

NF

-

NP

)=

NP

2-

NF

2=

NP

2-1，從而求

PE

•

PF

的最大值轉化為求

NP

2的最大值；
方法2：設點E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x₀，y₀），根據E，F的中點坐標為（0，2），可得

x2=-x1 y2=4-y1.

 
所以

PE

•

PF

=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)=

x

2 0

+

y

2 0

-4y0-(

x

2 1

+

y

2 1

-4y1)．根據點E在圓N上，點P在橢圓M上，可得

PE

•

PF

=-2

y

2 0

-4y0+9=-2(y0+1)2+11，利用y0∈[-

2

 ， 

2

]，可求

PE

•

PF

的最大值；
方法3：①若直線EF的斜率存在，設EF的方程為y=kx+2，由

y=kx+2 x2+(y-2)2=1

，解得x=±

1

k2+1

，再分別求得

PE

、

PF

，利用y0∈[-

2

 ， 

2

]，可求

PE

•

PF

的最大值；②若直線EF的斜率不存在，此時EF的方程為x=0，同理可求

PE

•

PF

的最大值．

解答：解：（1）由題設知，A(

a2

a2-2

，0)，F1(

a2-2

，0)，…（1分）
由

OF1

+2

AF1

=0，得

a2-2

=2(

a2

a2-2

-

a2-2

)．…（3分）
解得a²=6．
所以橢圓M的方程為M：

x2

6

+

y2

2

=1．…（4分）
（2）方法1：設圓N：x²+（y-2）²=1的圓心為N，
則

PE

•

PF

=(

NE

-

NP

)•(

NF

-

NP

) …（6分）
=(-

NF

-

NP

)•(

NF

-

NP

)…（7分）
=

NP

2-

NF

2=

NP

2-1．…（8分）
從而求

PE

•

PF

的最大值轉化為求

NP

2的最大值．…（9分）
因為P是橢圓M上的任意一點，設P（x₀，y₀），…（10分）
所以

x02

6

+

y02

2

=1，即x02=6-3y02．…（11分）
因為點N（0，2），所以

NP

2=x02+(y0-2)2=-2(y0+1)2+12．…（12分）
因為y0∈[-

2

，

2

]，所以當y₀=-1時，

NP

2取得最大值12，…（13分）
所以

PE

•

PF

的最大值為11，…（14分）

方法2：設點E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），P（x₀，y₀），
因為E，F的中點坐標為（0，2），所以

x2=-x1 y2=4-y1.

 …（6分）
所以

PE

•

PF

=(x1-x0)(x2-x0)+(y1-y0)(y2-y0)…（7分）=（x₁-x₀）（-x₁-x₀）+（y₁-y₀）（4-y₁-y₀）=

x

2 0

-

x

2 1

+

y

2 0

-

y

2 1

+4y1-4y0=

x

2 0

+

y

2 0

-4y0-(

x

2 1

+

y

2 1

-4y1)．…（9分）
因為點E在圓N上，所以

x

2 1

+(y1-2)2=1，即

x

2 1

+

y

2 1

-4y1=-3．…（10分）
因為點P在橢圓M上，所以

x 2 0

6

+

y 2 0

2

=1，即

x

2 0

=6-3

y

2 0

．…（11分）
所以

PE

•

PF

=-2

y

2 0

-4y0+9=-2(y0+1)2+11．…（12分）
因為y0∈[-

2

 ， 

2

]，所以當y₀=-1時，(

PE

•

PF

)max=11．…（14分）
方法3：①若直線EF的斜率存在，設EF的方程為y=kx+2，…（6分）
由

y=kx+2 x2+(y-2)2=1

，解得x=±

1

k2+1

．…（7分）
因為P是橢圓M上的任一點，設點P（x₀，y₀），
所以

x02

6

+

y02

2

=1，即x02=6-3y02．…（8分）
所以

PE

=(

1

k2+1

-x0，

k

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