Question

在平面直角坐標系xOy中，O為坐標原點，A(－2,0)，B(2,0)，點P為動點，且直線AP與直線BP的斜率之積為－.

(1)求動點P的軌跡C的方程；

(2)過點D(1,0)的直線l交軌跡C于不同的兩點M，N，△MON的面積是否存在最大值？若存在，求出△MON的面積的最大值及相應的直線方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）＝1(x≠±2)（2），x＝1

【解析】(1)設P點的坐標為(x，y)．

∵A(－2,0)，B(2,0)，直線AP與直線BP的斜率之積為－，

∴＝－(x≠±2)．

化簡整理得P點的軌跡C的方程為＝1(x≠±2)．

(2)依題意可設直線l的方程為x＝ny＋1.

由得(3n2＋4)y2＋6ny－9＝0.

設M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1＋y2＝，y1y2＝－.

△MON的面積S＝|OD|·|y1－y2|＝＝.

令t＝，則t≥1，且3t＋在[1，＋∞)上單調遞增，

∴當t＝1時，3t＋取得最小值4，S取得最大值，

此時直線的方程為x＝1.