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已知橢圓：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)．
（Ⅰ）若橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+
3
和2-
3
，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖，過坐標原點O任作兩條互相垂直的直線與橢圓分別交于P、Q和R、S四點．設原點O到四邊形PRQS某一邊的距離為d，試求：當d=1時
1
a2
+
1
b2
的值．
（Ⅰ）∵橢圓的一個焦點到長軸的兩個端點的距離分別為2+
3
和2-
3
，
∴2a=4，a=2，2c=2
3
，c=
3
，
∴橢圓的方程：
x2
4
+y2=1
（Ⅱ）由橢圓的對稱性知：PRQS為菱形，原點O到各邊距離相等
（1）當P在y軸上時，易知R在x軸上，此時PR方程為
x
a
+
y
b
=1，d=1⇒
1
a2
+
1
b2
=1．
（2）當P在x軸上時，易知R在y軸上，此時PR方程為
x
a
+
y
b
=1，d=1⇒
1
a2
+
1
b2
=1．
（3）當P不在坐標軸上時，設PQ斜率為k，P（x1，kx1）、R(x2，-
1
k
x2)
P在橢圓上，
1
x21
=
1
a2
+
k2
b2
①；
R在橢圓上，
1
x21
=
1
a2
+
1
k2b2
②
利用Rt△POR可得　d|PR|=|OP|•|OR|
即　(x1-x2)2+(kx1+
x2
k
)2=(
x21
+k2
x21
)(
x22
+
x22
k2
)
整理得　
k2
x22
+
1
x21
=1+k2．再將①②代入，得
1
a2
+
1
b2
=1
綜上當d=1時，有
1
a2
+
1
b2
=1．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知拋物線C：y2=x，直線l：y=k（x-1）+1，要使拋物線C上存在關于對稱的兩點，求實數k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知圓的方程為x2+y2=4，過點M（2，4）作圓的兩條切線，切點分別為A1、A2，直線A1A2恰好經過橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的右頂點和上頂點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設直線x=-1與橢圓相交于A、B兩點，P是橢圓上異于A、B的任意一點，直線AP、BP分別交定直線l：x=-4于兩點Q、R，求證
OQ
•
OR
為定值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓C的中心在原點，焦點y在軸上，焦距為2
3
，且過點M(-
13
4
，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若過點N(
1
2
，1)的直線l交橢圓C于A、B兩點，且N恰好為AB中點，能否在橢圓C上找到點D，使△ABD的面積最大？若能，求出點D的坐標；若不能，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線C1：x2-
y2
4
=1．
（1）求與雙曲線C1有相同焦點，且過點P（4，
3
）的雙曲線C2的標準方程；
（2）直線l：y=x+m分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A、B兩點．當
OA
•
OB
=3時，求實數m的值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，
ADB
為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且OD⊥AB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變．
（Ⅰ）建立適當的平面直角坐標系，求曲線C的方程；
（Ⅱ）過點B的直線l與曲線C交于M、N兩點，與OD所在直線交于E點，若
EM
=λ1
MB
，
EN
=λ2
NB
，求證：λ1+λ2為定值．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：填空題

已知直線l與橢圓
x2
36
+
y2
9
=1交于A和B兩點，點（4，2）是線段AB的中點，則直線l的方程是______．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知圓E：（x+
3
）2+y2=16，點F（
3
，0），P是圓E上任意一點．線段PF的垂直平分線和半徑PE相交于Q．
（Ⅰ）求動點Q的軌跡Γ的方程；
（Ⅱ）已知A，B，C是軌跡Γ的三個動點，A與B關于原點對稱，且|CA|=|CB|，問△ABC的面積是否存在最小值？若存在，求出此時點C的坐標，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，設橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）長軸的右端點為A，短軸端點分別為B、C，另有拋物線y=x2+b．
（Ⅰ）若拋物線上存在點D，使四邊形ABCD為菱形，求橢圓的方程；
（Ⅱ）若a=2，過點B作拋物線的切線，切點為P，直線PB與橢圓相交于另一點Q，求
|PQ|
|QB|
的取值范圍．

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