Question

已知f（x）=

ax+1

3x-1

，且方程f（x）=-4x+8有兩個不同的正根，其中一根是另一根的3倍，記等差數列{a_n}、{b_n}  的前n項和分別為S_n，T_n且

Sn

Tn

=f(n)（n∈N₊）．
（1）若g（n）=

an

bn

，求g（n）的最大值；
（2）若a₁=

5

2

，數列{b_n}的公差為3，試問在數列{a_n} 與{b_n}中是否存在相等的項，若存在，求出由這些相等項從小到大排列得到的數列{c_n}的通項公式；若不存在，請說明理由．
（3）若a₁=

5

2

，數列{b_n}的公差為3，且d_n=b_n-（n-1），h（x）=

x

x+1

．試證明：h（d₁）•h（d₂）…h（d_n）＜

1

3n

．

Answer 1

分析：（1）a=4時，f（x）=

4x+1

3x-1

，從而有：

Sn

Tn

=f（n）=

4n+1

3n-1

，g（n）=

an

bn

=

S2n-1

T2n-1

=

8n-3

6n-4

=

4

3

+

1

3(6n-4)

結合函數的性質即可得出g（n）的最大值．
（2）假若存在數列{a_n}中的第n項與數列{b_n}中的第m項相等，即4n-

3

2

=3m-2，進一步分析可得矛盾矛盾，即可得結論．
（3）根據題意得h（d_n）=

dn

dn+1

=

2n-1

2n

，要證h（d₁）•h（d₂）…h（d_n）＜

1

3n

即要證

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n

（直接用數學歸納法證明不出）只要證明

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n+1

（再用數學歸納法證明即可）．

解答：解：（1）a=4，f（x）=

4x+1

3x-1

，

Sn

Tn

=f（n）=

4n+1

3n-1

g（n）=

an

bn

=

S2n-1

T2n-1

=

8n-3

6n-4

=

4

3

+

1

3(6n-4)

，
此函數是關于n的減函數，
當n=1時取得最大值，
故g（n）的最大值為g（1）=

5

2

．
（2）由（1）知

a1

b1

=

5

2

，

a2

b2

=

13

8

可得
a_n=4n-

3

2

，b_n=3n-2
令a_n=b_m，4n-

3

2

=3m-2可得：

1

2

=3m-4n∈Z，矛盾
所以在數列{a_n} 與{b_n}中不存在相等的項．
（3）證明：∵h（d_n）=

dn

dn+1

=

2n-1

2n

∴要證h（d₁）•h（d₂）…h（d_n）＜

1

3n

即要證

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n

（直接用數學歸納法證明不出）
只要證明

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n+1

（再用數學歸納法證明即可）
①當n=1時，

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n

顯然成立，當n=2時，

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n+1

成立；
②假設當n=k（k≥2）時

1

2

×

3

4

×…×

2n-1

2n

＜

1

3n+1

成立，
當n=k+1時，為了要證明：

1

2

×

3

4

×…×

2(k+1)-1

2(k+1)

＜

1

3k+4

成立
只要證：

1

3k+1

•

2k+1

2(k+1)

≤

1

3k+4

?3（2k+1）²≤（3k+1）[（2k+2）²-（2k+1）²]=（3k+1）（4k+3）
?12k²+12k+3≤12k²+13k+3?k≥0．
最后一個式子顯然成立，從而得出n=k+1時也成立．
由①②可得n∈N⁺時，h（d₁）•h（d₂）…h（d_n）＜

1

3n

．

點評：本題主要考查數學歸納法與等差數列的有關性質，以及等差數列的通項公式、函數求最值等知識點，屬于中檔題．