Question

（本小題滿分13分）

如圖，已知橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)(4,0)且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于、兩點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為.

（ⅰ）求證：直線過軸上一定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)；

（ⅱ）求△面積的取值范圍.

 

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)是（1，0），所以半焦距=1.因?yàn)闄E圓兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形.

所以，解得

 

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.  …4分                

（Ⅱ）（i）設(shè)直線：與聯(lián)立并消去得：.記，，

，

.  ……………5分

由A關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，得，

根據(jù)題設(shè)條件設(shè)定點(diǎn)為（，0），

得，即.

所以

即定點(diǎn)（1 ， 0）.                 ……………………………8分

（ii）由（i）中判別式，解得.   可知直線過定點(diǎn) (1,0).

所以    　　　………10分

得,  令

記，得，當(dāng)時(shí)，.

在上為增函數(shù). 所以 ，

得.故△OA₁B的面積取值范圍是.  ……………13分

 

【解析】略