Question

如圖，已知橢圓C的中心在原點，其一個焦點與拋物線y2=4

6

x的焦點相同，又橢圓C上有一點M（2，1），直線l平行于OM且與橢圓C交于A、B兩點，連MA、MB．
（1）求橢圓C的方程．
（2）當MA、MB與x軸所構成的三角形是以x軸上所在線段為底邊的等腰三角形時，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）拋物線y2=4

6

x的焦點(

6

，0)，又橢圓C上有一點M（2，1），由此可求出橢圓方程．
（2）設直線在y軸上的截距為m，則直線l：y=

1

2

x+m，由直線l與橢圓C交于A、B兩點，可導出m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}，設MA、MB的斜率分別為K₁，K₂，K₁+K₂=0，然后結合題設條件和根與系數的關系知MA，MB與x軸始終圍成等腰三角形，從而得到m的取值范圍．

解答：解：（1）拋物線y2=4

6

x的焦點(

6

，0)，又橢圓C上有一點M（2，1）∴橢圓方程為，

x2

8

+

y2

2

=1
（2）l∥OM?kl=kOM=

1

2

，設直線在y軸上的截距為m，則直線l：y=

1

2

x+m
直線l與橢圓C交于A、B兩點，

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

?x2+2mx+2m2-4=0?△=(2m)2-4(2m2-4)＞0
∴m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}，設MA、MB的斜率分別為K₁，K₂，∴K₁+K₂=0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則K1=

y1-1

x1-2

，K2=

y2-1

x2-2

∵K1+K2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

=

x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0
故MA，MB與x軸始終圍成等腰三角形．∴m的取值范圍是{m|-2＜m＜2且m≠0}

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．