Question

已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2，點(diǎn)（1，

3

2

）在橢圓C上．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過F₁的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且△AF₂B的面積為

12 2

7

，求以F₂為圓心且與直線l相切的圓的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設(shè)出橢圓的方程，根據(jù)題設(shè)中的焦距求得c和焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)（1，

3

2

）到兩焦點(diǎn)的距離求得a，進(jìn)而根據(jù)b=

a2-c2

求得b，得到橢圓的方程．
（Ⅱ）先看當(dāng)直線l⊥x軸，求得A，B點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)而求得△AF₂B的面積與題意不符故排除，進(jìn)而可設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1）與橢圓方程聯(lián)立消y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），根據(jù)韋達(dá)定理可求得x₁+x₂和x₁•x₂，進(jìn)而根據(jù)表示出|AB|的距離和圓的半徑，求得k，最后求得圓的半徑，得到圓的方程．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1，(a＞b＞0)，由題意可得：
橢圓C兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0）．
∴2a=

(1+1)2+( 3 2 )2

+

(1-1)2+( 3 2 )2

=

5

2

+

3

2

=4．
∴a=2，又c=1，b²=4-1=3，
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）當(dāng)直線l⊥x軸，計(jì)算得到：
A(-1，-

3

2

)，B(-1，

3

2

)，S△AF2B=

1

2

•|AB|•|F1F2|=

1

2

×3×2=3，不符合題意．
當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)直線l的方程為：y=k（x+1），
由

y=k(x+1) x2 4 + y2 3 =1

，消去y得（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
顯然△＞0成立，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x1+x2=-

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

，
又|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1•x2

=

1+k2

•

64k4 (3+4k2)2 - 4(4k2-12) 3+4k2

即|AB|=

1+k2

•

12 k2+1

3+4k2

=

12(k2+1)

3+4k2

，
又圓F₂的半徑r=

|k×1-0+k|

1+k2

=

2|k|

1+k2

，
所以S△AF2B=

1

2

|AB|r=

1

2

×

12(k2+1)

3+4k2

•

2|k|

1+k2

=

12|k| 1+k2

3+4k2

=

12 2

7

，
化簡，得17k⁴+k²-18=0，
即（k²-1）（17k²+18）=0，解得k=±1
所以，r=

2|k|

1+k2

=

2

，
故圓F₂的方程為：（x-1）²+y²=2．

點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線，橢圓與圓的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識，創(chuàng)造性地解決問題的能力．