Question

已知A、B分別是直線y=

3

3

x和y=-

3

3

x上的兩個動點，線段AB的長為2

3

，P是AB的中點．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）過點Q（1，0）任意作直線l（與x軸不垂直），設l與（1）中軌跡C交于M、N，與y軸交于R點．若

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，證明：λ+μ 為定值．

Answer 1

分析：（1）設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用P是線段AB的中點，可得

y= y1+y2 2 x= x1+x2 2

，進而可得

y1-y2= 2 3 3 x x1-x2=2 3 y

，利用|

AB

|=2

3

，即可求得動點P的軌跡C的方程；
（2）設直線l的方程代入橢圓方程，消去y并整理，利用韋達定理及

RM

=λ

MQ

，

RN

=μ

NQ

，可得λ=

x3

1-x3

，μ=

x4

1-x4

，化簡可得結論．

解答：解：（1）設P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵P是線段AB的中點，∴

y= y1+y2 2 x= x1+x2 2

                           …（2分）
∵A、B分別是直線y=

3

3

x 和y=-

3

3

x 上的點，
∴y1=

3

3

x1 和y2=-

3

3

x2．
∴

y1-y2= 2 3 3 x x1-x2=2 3 y

                                …（4分）
又|

AB

|=2

3

，∴(x1-x2)2+(y1-y2)2=12．                  …（5分）
∴12y2+

4

3

x2=12，∴動點P的軌跡C的方程為

x2

9

+y2=1．      …（8分）
（2）依題意，直線l的斜率存在，故可設直線l的方程為y=k（x-1）．
設M（x₃，y₃）、N（x₄，y₄）、R（0，y₅），則M、N兩點坐標滿足方程組

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

消去y并整理，得（1+9k²）x²-18k²x+9k²-9=0，…（10分）
∴x3+x4=

18k2

1+9k2

，①x3x4=

9k2-9

1+9k2

．    ②…（12分）
∵

RM

=λ

MQ

，∴（x₃，y₃）-（0，y₅）=λ[（1，0）-（x₃，y₃）]．
即

x3=λ(1-x3) y3-y5=-λy3

，∴x₃=λ（1-x₃）．
∵l 與x 軸不垂直，∴x₃≠1，
∴λ=

x3

1-x3

，同理μ=

x4

1-x4

．                           …（14分）
∴λ+μ=

x3

1-x3

+

x4

1-x4

=

(x3+x4)-2x3x4

1-(x3+x4)+x3x4

=

18k2 1+9k2 -2× 9k2-9 1+9k2

1-( 18k2 1+9k2 )+ 9k2-9 1+9k2

=-

9

4

．
∴λ+μ=-

9

4

為定值．                  …（16分）

點評：本題考查動點的軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查向量知識的運用，確定λ、μ的值是關鍵．