Question

已知函數f（x）=log_a（a-a^x）  （a＞1）
（1）求f（x）的定義域、值域．
（2）解不等式f^-1（x²-2）＞f（x）．

Answer 1

分析：（1）對數的真數大于0，可得函數的定義域，然后求出值域．
（2）先求反函數，然后化簡不等式，利用函數單調性解出x的范圍即可．

解答：解：（1）a-a^x＞0可得a^x＜a，又a＞1，∴x＜1．
∴f（x）的定義域為（-∞，1）．
又由log_a（a-a^x）＜log_aa=1，
∴f（x）＜1．∴f（x）的值域為（-∞，1）．
（2）f（x）=log_aa+log_a（1-x）=1+log_a（1-x）
f（x）-1=log_a（1-x）  a^f（x）-1=1-x  x=1-a^f（x）-1
所以f^-1（x）=1-a^x-1f^-1（x²-2）=1-ax2-3＞1+log_a（1-x）
即ax2-1=y₂＜log_a

1

1-x

=y₁把y₂代入y₁，有aax2-1=

1

1-x

解得x=0，因為f^-1（x）的遞減程度小于y₁的遞減程度，
所以在x＞0時，都滿足f^-1（x²-2）＞f（x）．所以解為x＞0

點評：本題考查對數函數的定義域和值域，反函數的知識，計算量大，容易出錯，是中檔題．