Question

（14分）已知（其中e為自然對數的底數）。
（1）求函數上的最小值；
（2）是否存在實數處的切線與y軸垂直？若存在，求出的值，若不存在，請說明理由。

Answer 1

（1）當時，函數在區間上無最小值；當時，函數在區間上的最小值為
（2）故不存在，使曲線處的切線與軸垂直

解：（1）
令，得…………1分
①若，則在區間上單調遞增，此時函數無最小值
……2分
②若時，，函數在區間上單調遞減
當時，，函數在區間上單調遞增
時，函數取得最小值…………4分
③若，則，函數在區間上單調遞減
時，函數取得最小值…………5分
綜上可知，當時，函數在區間上無最小值；當時，函數在區間上的最小值為；
當時，函數在區間上的最小值為…………6分
（2）

……7分
由（1）可知，當
此時在區間上的最小值為
即…………9分
當，
…………12分
曲線y在點處的切線與軸垂直等價于方程有實數解
而，即方程無實數解
故不存在，使曲線處的切線與軸垂直…………