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若函數y=f（x）在（0，+∞）上的導函數為f′（x），且不等式xf′（x）＞f（x）恒成立，又常數a，b滿足a＞b＞0，則下列不等式一定成立的是
 
．
①bf（a）＞af（b）；②af（a）＞bf（b）；③bf（a）＜af（b）；④af（a）＜bf（b）．
分析：構造g（x）=
f(x)
x
（x＞0），求導數g′（x），利用利用導數判定g（x）的單調性，可以得出結論．
解答：解：令g（x）=
f(x)
x
（x＞0），則g′（x）=
xf′(x)-f(x)
x2
（x＞0）；
又∵xf′（x）＞f（x），∴g′（x）＞0；
∴函數g（x）在（0，+∞）上是增函數．
又∵a＞b＞0，
∴g（a）＞g（b），即
f(a)
a
＞
f(b)
b
；
∴bf（a）＞af（b）．
故答案為：①．
點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性以及構造函數來解題的方法，是易錯題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知變量t，y滿足關系式loga
t
a3
=logt
y
a3
，a＞0且a≠1，t＞0且t≠1，變量t，x滿足關系式t=ax，變量y，x滿足函數關系式y=f（x）．
（1）求函數y=f（x）表達式；
（2）若函數y=f（x）在[2a，3a]上具有單調性，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
38
x2-2x+2+ln x．
（Ⅰ）求函數y=f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若函數y=f（x）在[em，+∞）（m∈Z）上有零點，求m的最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=-x2+2ax-3a．
（Ⅰ）若函數y=f（x）在（-∞，1）上是增函數，求實數a的取值范圍；
（Ⅱ）當函數f（x）在[1，2]上的最大值為4時，求實數a的值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（2x）=x2-2ax+3
（1）求函數y=f（x）的解析式
（2）若函數y=f（x）在[
12
，8]上的最小值為-1，求a的值．

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