Question

已知數列{a_n}中，a1=t，a2=t2（t＞0且t≠1）．若x=

t

是函數f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一個極值點．
（Ⅰ）證明數列{a_n+1-a_n}是等比數列，并求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）記bn=2(1-

1

an

)，當t=2時，數列{b_n}的前n項和為S_n，求使S_n＞2008的n的最小值；
（Ⅲ）當t=2時，求證：對于任意的正整數n，有 

n

k=1

2k

(ak+1)(ak+1+1)

＜

1

3

．

Answer 1

分析：（I）利用x=

t

是函數f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一個極值點求出a_n與a_n+1的關系式，從而加以證明；
（II）解決關鍵在于運用等比數列的求和公式，再利用函數的單調性得出n的最小值．
（III）先將

1

(ak+1)(ak+1+1)

拆項并求和，通過觀察與分析得出指數函數g（x）的表達式．

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=3an-1x2-3[(t+1)an-an+1](n≥2)．
由題意f′(

t

)=0，即3an-1(

t

)2-3[(t+1)an-an+1](n≥2)，
∴a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1）（n≥2），
∵t＞0且t≠1，∴數列{a_n+1-a_n}是以t²-t為首項，t為公比的等比數列，
∴a_n+1-a_n=（t²-t）t^n-1=（t-1）tⁿ
∴a₂-a₁=（t-1）t
a₃-a₂=（t-1）t²
…
a_n-a_n-1=（t-1）t^n-1
以上各式兩邊分別相加得an-a1=(t-1)(t+t2+…tn-1)，∴an=tn(n≥2)，
當n=1時，上式也成立，∴an=tn
（Ⅱ）當t=2時，bn=

2(2n-1)

2n

=2-

1

2n-1

∴S_n=2n-（1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

）=2n-2(1-

1

2n

)=2n-2+2•

1

2n

．
由S_n＞2008，得2n-2+2(

1

2

)n＞2008，n+(

1

2

)n＞1005，
當n≤1004時，n+(

1

2

)n＜1005，
當n≥1005時，n+(

1

2

)n＞1005，
因此n的最小值為1005．
（Ⅲ）∵

2k

(ak+1)(ak+1+1)

=

2k

(2k+1)(2k+1+1)

=

1

2k+1

-

1

2k+1+1

∴

n

k=1

2k

(ak+1)(ak+1+1)

=(

1

2+1

-

1

22+1

)+(

1

22+1

-

1

23+1

)+…+(

1

2n+1

-

1

2n+1+1

)=

1

3

-

1

2n+1+1

＜

1

3

點評：本題主要考查了函數在某點取得極值的條件，以及數列與函數和不等式的綜合應用，同時考查了計算能力，屬于中檔題．