Question

（2012•資陽二模）設函數f（x）=1-e^-x，函數g(x)=

x

ax+1

（其中a∈R，e是自然對數的底數）．
（Ⅰ）當a=0時，求函數h（x）=f'（x）•g（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍；
（Ⅲ）設n∈N^*，求證：e2n-

n

k=1

4

k+1

≤n!≤e

n(n-1)

2

（其中e是自然對數的底數）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f（x）=1-e^-x，知f′（x）=-e^-x•（-1）=e^-x，故函數h（x）=f′（x）•g（x）=xe^-x，h′（x）=（1-x）•e^-x，由此能求出函數h（x）=f'（x）•g（x）的極值．
（Ⅱ）由題1-e^-x≤

x

ax+1

在[0，+∞）上恒成立，由x≥0，1-e^-x∈[0，1），知

x

ax+1

≥0，分類討論能夠得到不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立時，實數a的取值范圍．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a=

1

2

時，則1-e-x≤

x

1 2 x+1

，故e-x≥

2-x

2+x

，由此能證明e2n-

n

k=1

4

k+1

≤n!≤e

n(n-1)

2

．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=1-e^-x，∴f′（x）=-e^-x•（-1）=e^-x，
函數h（x）=f′（x）•g（x）=xe^-x，
∴h′（x）=（1-x）•e^-x，當x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0，
故該函數在（-∞，1）上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減．
∴函數h（x）在x=1處取得極大值h（1）=

1

e

．（4分）
（Ⅱ）由題1-e^-x≤

x

ax+1

在[0，+∞）上恒成立，
∵x≥0，1-e^-x∈[0，1），∴

x

ax+1

≥0，
若x=0，則a∈R，若x＞0，則a＞-

1

x

恒成立，則a≥0．
不等式1-e-x≤

x

ax+1

恒成立等價于（ax+1）（1-e^-x）-x≤0在[0，+∞）上恒成立，（6分）
令μ（x）=（ax+1）（1-e^-x），則μ′（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，
又令v（x）=a（1-e^-x）+（ax+1）e^-x-1，
則v′（x）=e^-x（2a-ax-1），∵x≥0，a≥0．
①當a=0時，v′（x）=-e^-x＜0，
則v（x）在[0，+∞）上單調遞減，∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上單減，∴μ（x）≤μ（0）=0，
即f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（7分）
②當a≥0時，v′(x)=-a•e-x(x-

2a-1

a

)．
ⅰ）若2a-1≤0，即0＜a≤

1

2

時，v′（x）≤0，則v（x）在[0，+∞）上單調遞減，
∴v（x）=μ′（x）≤v（0）=0，
∴μ（x）在[0，+∞）上單調遞減，
∴μ（x）≤μ（0）=0，
此時f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立；（8分）
ⅱ）若2a-1＞0，即a＞

1

2

時，若0＜x＜

2a-1

a

時，
v′（x）＞0，則v（x）在（0，

2a-1

a

）上單調遞增，
∴v（x）=μ′（x）＞v（0）=0，∴μ（x）在（0，

2a-1

a

）上也單調遞增，
∴μ（x）＞μ（0）=0，即f（x）＞g（x），不滿足條件．（9分）
綜上，不等式f（x）≤g（x）在[0，+∞）上恒成立時，實數a的取值范圍是[0，

1

2

]．（10分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當a=

1

2

時，則1-e-x≤

x

1 2 x+1

，
∴e-x≥

2-x

2+x

，
當x∈[0，2）時，e-x≥

2-x

2+x

，∴x≤ln

2+x

2-x

，
令

2+x

2-x

=n，則x=

2n-2

n+1

=2-

4

n+1

，
∴lnn≥2-

4

n+1

(n∈N*)，∴

n

k=1

lnk≥2n-

n

k=1

4

k+1

，
∴ln(n!)≥2n-

n

k=1

4

k+1

，（12分）
又由（Ⅰ）得h（x）≤h（1），即xe-x≤

1

e

，當x＞0時，ln(xe-x)≤ln

1

e

=-1，∴lnx≤x-1，
ln（n!）=ln2+ln3+…+lnn≤1+2+…+（n-1）=

n(n-1)

2

，
綜上得2n-

n

k=1

4

k+1

≤ln（n!）≤

n2-n

2

，
即e2n-

n

k=1

4

k+1

≤n!≤e

n(n-1)

2

．（14分）

點評：本題考查函數極值的求法，求實數的取值范圍，證明不等式．考查數列、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．