Question

已知函數滿足,當時,,當時, 的最大值為-4．
(I)求實數的值；
(II)設，函數，．若對任意的,總存在,使,求實數的取值范圍．

Answer 1

(I)； (II)

試題分析：(I) 因為函數滿足,當，所以可得f(x)=2f(x+2)=4f(x+4)當x(-4,-2),則x+4(0,2)這樣就可以f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以通過求導可求出f(x)的導數，再根據的取值范圍求出函數的單調區間即可求出最大值.從而解出的值.
(II)假設的值域為A，的值域為B，則由已知，對于任意的，使得，即函數f(x)值域的范圍比函數g(x)值域的范圍小即可.對于函數g(x)的單調性要考慮b的值.再根據，即可得結論.
試題解析：(I)由已知，得2f(x+2)=f(x),所以f(x)=2f(x+2)=4f(x+4).又因為x(0,2)時，f(x)=lnx+x.設x(-4,-2),則x+4(0,2).所以f(x+4)="ln(x+4)+" (x+4).所以x(-4,-2)時，f(x)=4f(x+4)=4ln(x+4)+4(x+4).所以.因為x(-4,-2).所以.因為.所以.又由可得.所以f(x)在上是增函數，在上是減函數.所以.所以.
（II）設的值域為A，的值域為B，則由已知，對于任意的，使得，． 
由（I）=-1，當時,,,
∵,∴，在上單調遞減函數,
∴的值域為 A=
∵,
∴（1）當時，在上是減函數，此時，的值域為，
為滿足，又∴即．  12分
（2）當時，在上是單調遞增函數，此時，的值域為，為滿足，又,∴,∴,
綜上可知b的取值范圍是．