Question

（08年福建卷理）（本小題滿分14分）

　　　已知函數.

（Ⅰ）求的單調區間；

　　（Ⅱ）記在區間（n∈N*）上的最小值為，令.

        ① 如果對一切n，不等式恒成立，求實數c的取值范圍；

() 求證：.

Answer 1

 解析：解法一：

（I）因為，所以函數定義域為，且。

由得，的單調遞增區間為；

由<0得，的單調遞增區間為（0，+）.

（Ⅱ）因為在上是減函數，所以，

則.

()

又,

因此，即實數c的取值范圍是.

()  由①知

因為

所以＜，

則

 .

解法二：

（I）同解法一。

（Ⅱ）因為在上是減函數，所以，

則.

() 因為對恒成立，

所以對恒成立。

     則對恒成立。

     設，，則對恒成立。

     考慮。

     因為

     在內是減函數；則當時，隨的增大而減小。

     又因為

                   。

所以對一切，。因此，即實數c的取值范圍是.

()  由()知

下面用數學歸納法證明不等式

 ，

① 當時，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立。

② 假設當時，不等式成立.即。

          當時，

         

         

。

即時，不等式成立.

綜合①、②得， 成立。

所以

。

 .

【高考考點】本小題主要考查函數的單調性、最值、不等式、數列等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分析問題和解決問題的能力，滿分14分.

【易錯提醒】第一問中導數記不住公式

【備考提示】此題為壓軸題,所以平時可以讓學生學會放棄一些自己能力范圍之外的題目,把多余的時間多花點在中低檔題目上,可是80%的分數呀,多么可觀,可是縱觀歷年的高考成績來看又有多少人真正的做到了這120分?