Question

已知空間四點O（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C（0，0，4），
（1）若直線AB上的一點H滿足AB⊥OH，求點H的坐標．
（2）若平面ABC上的一點G滿足OG⊥面ABC，求點G的坐標．

Answer 1

分析：（1）由題意，可設

AH

=λ

AB

=(-2λ，2λ，0)，得到

OH

=(2-2λ，2λ，0)，

AB

=(-2，2，0)，令其內積為0，即可得到參數λ所滿足的方程，解出參數的值，即可得到點H的坐標．
（2）設G（x，y，z），求出向量

OG

的坐標，由于OG⊥面ABC可得

OG

•

AB

=0，

OG

•

AC

=0由這兩個等式得到方程，解出點G的坐標．

解答：解：（1）設

AH

=λ

AB

=(-2λ，2λ，0)，則

OH

=(2-2λ，2λ，0)，

AB

=(-2，2，0)
由

OH

•

AB

=0，得-4+4λ+4λ=0，
∴λ=

1

2

，
∴H的坐標為（1，1，0）
（2）設G（x，y，z），

AB

=(-2，2，0)，

AC

=(-2，0，4)，由

OG

•

AB

=0，

OG

•

AC

=0
得

-2x+2y=0 -2x+4z=0

∴

x=2z y=2z

①
又∵G在ABC面上，
∴

AG

=λ

AB

+μ

AC

即（X-2，Y，Z）=（-2λ，2λ，0）+（-2μ，0，4μ）=（-2λ-2μ，2λ，4μ），
∴

x-2=-2λ-2μ y=2λ z=4μ

②由①②得x=

8

9

，y=

8

9

，，z=

4

9

∴H的坐標為(

8

9

，

8

9

，

4

9

)．

點評：本題考點是平面向量綜合題，考查了線面垂直的向量表示，向量數量積坐標表示，向量共線的坐標表示，向量共面基本定理等，解題的關鍵是理解題意，熟練掌握垂直關系與數量積的對應，本題考查了方程的思想及推理判斷的能力是向量中的綜合性較強的題