Question

已知函數（其中，e是自然對數的底數）．
（Ⅰ）若，試判斷函數在區間上的單調性；
（Ⅱ）若函數有兩個極值點，（），求k的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，試證明．

Answer 1

（Ⅰ）在區間上是單調遞減函數；（Ⅱ）k的取值范圍是；（Ⅲ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）將代入求導，根據其符號即可得其單調性；（Ⅱ）函數有兩個極值點，，則，是的兩個根，即方程有兩個根.接下來就研究函數圖象特征，結合圖象便可知取何值時，方程有兩個根.

（Ⅲ）結合圖象可知，函數的兩個極值點，滿足.
，這里面有兩個變量，那么能否換掉一個呢？
由，得，利用這個關系式便可將換掉而只留：
，這樣根據的范圍，便可得，從而使問題得證.
試題解析：（Ⅰ）若，，則，
當時，，
故函數在區間上是單調遞減函數． 4分
（Ⅱ）函數有兩個極值點，，則，是的兩個根，
即方程有兩個根，設，則，
當時，，函數單調遞增且；
當時，，函數單調遞增且；
當時，，函數單調遞減且．
要使有兩個根，只需，
故實數k的取值范圍是． 9分
（Ⅲ）由（Ⅱ）的解法可知，函數的兩個極值點，滿足， 10分
由，得，
所以，
由于，故，
所以． 14分