Question

設函數f(x)=

1

2

x2-tx+3lnx，g(x)=

2x+t

x2-3

，已知a，b為函數f（x）的極值點（0＜a＜b）．
（1）求函數g（x）在區間（-∞，-a）上單調區間，并說明理由；
（2）若曲線g（x）在x=1處的切線斜率為-4，且方程g（x）-m=0有兩上不等的負實根，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）據極值點處的導數為0，利用二次方程的根與系數的關系將g′（x）用a，b表示，令g′（x）＞0得到單增區間；令令g′（x）＜0得到單減區間
（2）據在切點處的導數值為切線斜率，求出t的值，通過求g（x）的單調性及極值畫出g（x）的大致圖象，數形結合求出m的取值范圍．

解答：解：（1）令f′(x)=x-t+

3

x

=

x2-tx+3

x

=0
∴a，b為方程x²-tx+3=0的兩根，
又g′（x）=-

2(x2+tx+3)

(x2-3)2

=

-2(x+a)(x+b)

(x2-3)2

=（x≠±

3

）
由0＜a＜b及ab=3知0＜a＜

3

＜b，
∴-b＜-

3

＜-a＜0，
當x∈（-b，-a）且x≠-

3

時，g′（x）＞0；當x∈（-∞，-b）時，g′（x）＜0
∴g（x）在（-∞，-b）上單調遞減；在區間(-b，-

3

)，(-

3

，-a)上單調遞增
（2）由g′(1)=-

2(t+4)

4

=-4得t=4
∴g（x）=

2x+4

x2-3

，
∴g′(x)=

-2(x+1)(x+3)

(x2-3)2

，
令g′（x0=0解得x=-3或-1
∴當x在（-∞，0]上變化時，g（x），g′（x）的變化情況如下：
當x＜-3時，g′（x）＜0；
當-3＜x＜-

3

時，g′（x）＞0；
當-

3

＜ x＜-1時，g′（x）＞0；
當-1＜x＜0時，g′（x）＜0
故當x=-3時，有極小值-

1

3

；
當x=-1時，有極大值-1；并且g（0）=-

4

3

∴g（x）的大致圖象為：
∴方程g（x）-m=0有兩個不等的負實根時，m∈(-

4

3

，-1)∪(-

1

3

，0)

點評：本題考查通過導數求函數極值，求單調區間；畫函數的大致圖象等．