Question

已知f(x)=

3x-6

x

（1）用單調性定義證明：f（x）在區間（0，+∞）上是增函數．
（2）函數y=f（x）在區間[1，3]上的值域為A，求函數y=4^x-2^x+1（x∈A）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）利用定義證明單調性步驟為：①取值；②作差；③變形；④判號；⑤結論．
（2）利用f（x）的單調性求出A，y=4^x-2^x+1=（2^x）²-2•2^x，令t=2^x，則y=t²-2t，利用二次函數性質可求其最值．

解答：（1）證明：設x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

3x1-6

x1

-

3x2-6

x2

=

6(x1-x2)

x1x2

，
∵0＜x₁＜x₂，∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，∴

6(x1-x2)

x1x2

＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴y=f（x）在（0，+∞）上是增函數．
（2）解：由（1）y=f（x）在[1，3]上是增函數，則在區間[1，3]上
當x=1時，y=f（x）有最小值-3，當x=3時，y=f（x）有最大值1，故A=[-3，1]．
y=4^x-2^x+1=（2^x）²-2•2^x
令t=2^x，由A=[-3，1]，得t∈[

1

8

，2]，
則 y=t2-2t，t∈[

1

8

，2]，
當t=1，即x=0時，y有最小值-1；
當t=2，即x=1時，y有最大值0．

點評：定義法是證明函數單調性的一種基本方法，要熟練掌握其步驟，其中變形最關鍵，對二次函數的最值問題最好借助圖象處理．