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已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1、F2，上頂點為A，△AF1F2為正三角形，且以線段F1F2為直徑的圓與直線相切.

（Ⅰ）求橢圓C的方程和離心率e；

（Ⅱ）若點P為焦點F1關于直線的對稱點，動點M滿足. 問是否存在一個定點T，使得動點M到定點T的距離為定值？若存在，求出定點T的坐標及此定值；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在一個定點且定值為.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）依題意由線段F1F2為直徑的圓與直線相切，根據點到直線的距離公式得，可得c值，再由△AF1F2為正三角形，得a、b、c間關系，求出a、b的值，即得橢圓方程及離心率；（Ⅱ）假設存在一個定點T符合題意，先求出點關于直線的對稱點，由題意得，可知動點M的軌跡，從而得解.

試題解析：解：（Ⅰ）設焦點為，

以線段為直徑的圓與直線相切，，即c=2，     1分

又為正三角形，，  4分

橢圓C的方程為，離心率為.        6分

（Ⅱ）假設存在一個定點T符合題意，設動點，由點得

點關于直線的對稱點，                     7分

由得，

兩邊平方整理得，                      10分

即動點M的軌跡是以點為圓心，長為半徑的圓，

存在一個定點且定值為.                         12分

考點：1、橢圓方程及性質；2、點到直線的距離公式；3、點關于直線的對稱點的求法；4、兩點間距離公式；5、圓的軌跡方程.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（2013•臨沂二模）
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）如圖，已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1、F2，離心率為
3
2
，點A是橢圓上任一點，△AF1F2的周長為4+2
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點Q（-4，0）任作一動直線l交橢圓C于M，N兩點，記
MQ
=λ
QN
，若在線段MN上取一點R，使得
MR
=-λ
RN
，則當直線l轉動時，點R在某一定直線上運動，求該定直線的方程．

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科目：高中數學 來源：2013年浙江省嘉興市高考數學一模試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F2，O為原點．
（I）如圖①，點M為橢圓C上的一點，N是MF1的中點，且NF2丄MF1，求點M到y軸的距離；
（II）如圖②，直線l：：y=k+m與橢圓C上相交于P，G兩點，若在橢圓C上存在點R，使OPRQ為平行四邊形，求m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源：2012-2013學年山東臨沂高三5月高考模擬文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓C： 的左、右焦點分別為，離心率為，點A是橢圓上任一點，的周長為.

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）過點任作一動直線l交橢圓C于兩點，記，若在線段上取一點R，使得，則當直線l轉動時，點R在某一定直線上運動，求該定直線的方程.

 

 

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科目：高中數學 來源：2010-2011學年黑龍江省高三上學期期末考試數學文卷 題型：解答題

 

（本小題滿分12分）已知橢圓C：的左、右頂點的坐標分別為,，離心率。

（Ⅰ）求橢圓C的方程：

（Ⅱ）設橢圓的兩焦點分別為,，若直線與橢圓交于、兩點，證明直線與直線的交點在直線上。

 

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